напряженности поля применить теорему Остроградского-Гаусса.
Вспомогательные гауссовы поверхности удобно выбрать в виде цилиндрических поверхностей, коаксиальных с рассматриваемым заряженным цилиндром (рис. 1.13). Высота этих поверхностей, естественно, много меньше высоты рассматриваемого ци- линдрического электронного облака. Поскольку по условию задачи требуется опреде- лить напряженность поля в двух точках – внутри электронного облака и вне его, на рис. 1.13 проведены (пунктиром) две поверхности: S1 радиуса r1 и S2 радиуса r2. На рис. 1.13 показано расположение силовых линий (только вне облака) в сечении, нормальном к оси электронного облака.
Сумма зарядов, охваченных поверхностью S1:
åQi = ρπr12 h . |
(30) |
(S1 ) |
|
Сумма зарядов, охваченных поверхностью S2: |
|
åQi = ρπR2h . |
(31) |
(S2 ) |
Следует отметить, что величина суммарного заряда, охваченного поверхностью S1, проведенной внутри электронного облака, зависит от радиуса этой поверхности.
Поток вектора напряженности через вспомогательные поверхности S1 и S2 следует разбить на три потока: через две торцевые поверхности и через боковую поверхность. Как видно из рис. 1.13, потоки через торцевые поверхности равны нулю. Следователь- но, как для поверхности S1 так и для поверхности S2,
òEdS = |
òEdS , |
(S ) |
(Sб ) |
где Sб – боковая поверхность гауссова цилиндра S1 или S2. Во всех точках этих боковых поверхностей векторы E и dS образуют углы, равные π, следовательно,
òEdS = |
òErdS cos(EdS)= Er 2πrhcos(EdS). |
(S ) |
(Sб ) |
Последнее равенство справедливо потому, что вследствие симметрии Er = const во всех точках боковой поверхности, a Sб = 2πrh (r – радиус гауссовой поверхности, h – ее высота).
Таким образом, для поверхности S1:
òEdS = |
òEdS cos(EdS)= −Er 2πr1h , |
(32) |
(S1 ) |
(S1 ) |
для поверхности S2:
òEdS = |
òEdS cos(EdS)= -Er 2πr2h . |
(33) |
(S2 ) |
(S2 ) |
Подставляя (30) в (31) и, соответственно, (32) и (33) в формулу теоремы Остро-
градского-Гаусса, получим: |
|||||||||||||
ρ |
πr2h |
ρ |
πRh |
||||||||||
E |
2πrh = - |
1 |
; E |
2πr h = - |
|||||||||
r |
1 |
ε0 |
r |
2 |
ε0 |
||||||||
(объемная плотность заряда ρ берется по абсолютной величине, так как в формулах (32) и (33) учитывается направление Е).
Отсюда в точке на расстоянии r1
Er = - ρ r1 = -3,5 ×102 В м ; 2ε0
в точке на расстоянии r2
Er = - ρ R 2 = -4,8 ×102 В м . 2ε0r2
(Отрицательное значение E является следствием того, что φρ < 0).
Очевидно, что первое выражение справедливо для всех точек, находящихся внутри
электронного облака, то есть при r ≤ R: |
||||||||||||
Er = - |
ρ |
r |
и E = - |
ρ |
r |
. |
(34) |
|||||
2ε0 |
2ε0 |
|||||||||||
Соответственно, второе выражение справедливо для всех точек вне электронного
облака, то есть при r ≥ R: |
||||||||||||
Er = - |
ρ |
R 2 |
и E = - |
ρ |
R 2 |
. |
(35) |
|||||
2ε0r |
2ε |
0r |
||||||||||
Если ввести линейную плотность заряда (отношение суммарного заряда облака к его длине) τ = Ql = ρπR 2 , выражение примет вид
E = - 2πετ 0r .
Выражения (34) и (35), представляющие собой функциональные зависимости Er(r), позволяют найти разность потенциалов между данными точками по формуле:
ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edr = ò2 Er dr cos(Edr),
1 1
При выборе начала отсчета потенциала на оси облака (r = 0) аналитические выражения функции φ(r) изменяются, однако характер зависимо- сти останется прежним. Поэтому график для этого случая может быть получен путем переноса оси абсцисс, как это показано на рис. 1.14 (ось r').
Построенный график φ(r) согласуется с графиком Er(r). При любых значениях r E r = − ∂∂ϕr и потенциал φ является монотонно возрастающей функцией. Точка r = R, в
которой изменяется характер зависимости Er(r), является точкой перегиба на графике φ(r). При r < R (внутри облака) |Er| = E возрастает, на этом участке кривая φ(r) с ростом r идет все более круто. Вне облака |Er| = E убывает, на этом участке кривая φ(r) с рос- том r идет все более полого. Таким образом, график φ(r) можно было построить на ос- новании построенного ранее графика Er(r), не находя аналитических выражений для
φ(r).
Задача 1.9. Тонкий стержень длины l = 8 см равномерно заряжен зарядом Q = = 5 · 10-9 Кл.
Найти напряженность и потенциал в точке, находящейся на продолжении стержня на расстоянии a = 12 см от его середины.
Р е ш е н и е . Рассматривается поле, созданное зарядом, равномерно распределен- ным по телу заданного размера и конфигураций. Последние таковы, что поле не обла- дает симметрией для применения теоремы Гаусса (429), следовательно, напряженность поля, так же как и потенциал, рассчитываются методом суперпозиции.
При использовании принципа суперпозиции целесообразно сначала рассчитывать потенциал.
Стержень (рис. 1.16) разбиваем на элемен- тарные отрезки dx с зарядом dQ. Потенциал поля, созданный некоторым элементом dx с за- рядом dQ в точке C, равен
dϕ = dQ , 4πε0r
где r – расстояние от данного элемента до точки C.
Согласно принципу суперпозиции результирующий потенциал точки C может быть
рассчитан по формуле ϕ = òdϕ . Для расчета следует выбрать систему координат. По-
(Q )