Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Задача 1.3. Заряд Q = 5 · 10-8 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу ра- диуса R = 6 см. Найти напряженность и потенциал в точке, лежащей на оси кольца (рис. 1.3) на расстоянии h = 8 см от его центра. Построить графики зависимости напряжен- ности и потенциала в точках, лежащих на оси кольца, от координат.

Р е ш е н и е . Рассматривается электрическое поле, созданное зарядом, равномерно распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Расстояния от заряженного те- ла до точки, в которой отыскиваются характеристики поля, соизмеримы с размерами самого заряженного тела. Следовательно, заряд кольца нельзя считать точечным.

Для решения задачи может быть применен принцип суперпозиции для непрерывно распреде-

векторной величины E по формуле E = òdE ма-

(Q )

тематически более сложен, чем расчет скалярной

Рис. 1.3. величины φ по формуле ϕ = òdϕ . Поэтому целе-

(Q )

сообразнее находить сначала потенциал, а затем по формуле дифференциальной связи E = – grad φ напряженность.

Если кольцо разбить на элементы dl (рис. 1.3), то заряд каждого элемента может

быть выражен как

dQ = Ql dl ,

где l = 2πR – длина окружности кольца. Справедливость этой формулы следует из рав- номерного распределения зарядов по кольцу (отношение Q/l есть линейная плотность зарядов).

В рассматриваемой точке C потенциал поля, созданного таким элементарным заря- дом dQ при выборе начала отсчета потенциала в бесконечности, равен

dϕ = dQ , 4πε0r

где r = R 2 + h2 одинаково для всех элементарных зарядов. Принцип суперпозиции

дает

Следует отметить, что полученное выражение для потенциала не зависит от харак- тера распределения заряда по кольцу; то же выражение получится и в случае неравно- мерного распределения зарядов.

Для нахождения напряженности поля в точке C следует прежде всего определить направление вектора E в этой точке. Из условия равномерного распределения зарядов по кольцу следует, что E направлен по оси z, как показано на рис. 1.3, т. е. E = Ez.

Очевидно, что векторы напряженности dE полей, создаваемых всеми элементар- ными зарядами в точке C, одинаковы по величине и образуют коническую поверхность, симметричную относительно оси z. Поэтому Ex = Ey = 0.

Для нахождения величины E = Ez лучше пользоваться дифференциальной связью между потенциалом и напряженностью, так как полученное выше выражение для по- тенциала является одновременно и функциональной зависимостью потенциала от ко- ординаты z, так как расстояние h как раз является координатой z. То есть для любой

Для построения графика Ez(z) исследуем выражение (16). При z = 0 Ez = 0. При z > 0 Ez = + E > 0. При z < 0 Ez = – E < 0. При z → ± ∞ E → 0. Следовательно, функция Ez име-

ет два экстремума. E = Emax при dEdz = 0 . Произведя дифференцирование, найдем, что Ez

= Emax при z = ± R2 . График Ez(z) приведен на рис. 1.4.

Для построения графика φ(z) исследуем выражение (15). Очевидно, при всех значе-

ниях z как положительных, так и отрицательных φ > 0. При z = 0 ϕ = Q достигает 4πε0 R

максимального значения, при z → ± ∞ φ → 0. График φ(z) приведен на рис. 1.5.

Рис. 1.4. Рис. 1.5.

Задача 1.4. Тонкая круглая пластина радиуса R = 10 см равномерно заряжена по- ложительным зарядом с поверхностной плотностью (312) σ = – 2 · l0-7 Кл/м2.

Найти напряженность поля: 1) в точке, лежащей на расстоянии z =12 см от пласти- ны на перпендикуляре к ее плоскости, проходящей через центр пластины; 2) при z >> R;

ся решение задачи 1.3, пластину можно разбить на тонкие кольца шириной dr каждое (рис. 1.6). Площадь такого кольца dS = 2πrdr, заряд dQ = σ2πrdr. Напряженность поля, созданного кольцом радиуса r в рассматриваемой точке на расстоянии z от центра пла- стины, может быть записана в соответствии с формулой (16) в задаче 1.3:

Вектор dE, как следует из решения задачи 1.3, направлен по оси z (рис. 1.3).

Выражение для напряженности поля, созданного всей заряженной пластиной, мож- но получить, просуммировав все элементарные dE. Так как все векторы dE направлены

При интегрировании по заряду всей пластины, разбитой на элементарные кольца,

где Q = σπR2 – заряд всей пластины.

Последнее выражение совпадает с формулой (4) для точечного заряда. Таким обра- зом, при z >> R пластину можно рассматривать как точечный заряд. Допущенная при этом погрешность определяется отброшенными членами приведенного выше ряда.

При z << R выражение, стоящее в скобках формулы (19), стремится к единице, т. е.

E = 2σε0 .

Из последующего выражения видно, что вблизи пластины напряженность поля не зависит от расстояния до пластины.