Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Анализ. На первый взгляд данная задача почти полностью повторяет вторую часть предыдущей. Применяя к тороидальной катушке закон полного тока и также разбивая интеграл по замкнутому контуру на две части – на интеграл по части контура в сердеч-

Здесь Hс – напряженность магнитного поля в сердечнике, Hв – в воздухе. Отсутствие потока рассеяния, как и в задаче № 1, обусловливает равенство индукции поля в зазоре и в сердечнике.

Учитывая, что в воздушном зазоре Hв = B , равенство (1) можно переписать сле-

μ0

дующим образом:

Полученное выражение дает связь между величинами векторов индукции B и напря- женности H магнитного поля для торой да с сердечником заданной формы: определены длина l сердечника, толщина l' зазора, параметры обмотки (N, i). Никакого другого вы- ражения, которое бы в явном виде давало связь между указанными величинами, не су- ществует. Есть только опытный график – кривая намагничения для данного сорта желе- за (см. рис. 106). Поэтому поставленную задачу можно решить только графически.

Решение. Построим на приведенном графике кривую B(H) для данного сердечника, т. е. кривую по выражению (2).

Из формулы (2) найдем индукцию как функцию напряженности:

На графике выражение (3) будет представлять собой прямую 2 (см. рис. 106), пересе- кающую оси координат в точках:

H = Hс = 0 , B = μ0lNl' =1Тл ;

B = 0 , H = Hс = Nil = 2000 Ам .

Координаты точки пересечения кривой 1 и прямой 2 (Hс ≈ 300 А/м, B' ≈ 0,96 Тл) явля- ются искомыми значениями напряженности и индукции.

Легко видеть, что по мере роста толщины l' воздушного зазора график, соответст- вующий уравнению (3), будет располагаться все ниже и ниже, все меньше будут значе-

ния H' и B', определяющие положение точки пересечения графиков, т. е. при прочих равных условиях (неизменны число витков, сила тока, длина сердечника) все сильнее будет сказываться размагничивающее действие воздушного зазора.

Задача 4

По бесконечно длинному цилиндрическому проводнику идет ток i = 20 А. Радиус проводника r0 = 2 см. Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоя- ниях r1 = 1 см, r2 = 3 см от оси проводника, если последний выполнен из стали, кривая намагничения которой приведена на рис. 107. Построить график зависимости индукции B от расстояния r от оси проводника до рассматриваемой точки.

Анализ (СГСМ). Так как проводник бесконечно длинный, действием подводящих проводов можно пренебречь, и из соображений симметрии следует, что линии индук- ции, как и линии напряженности, будут представлять собой плоские окружности, центры которых лежат на

оси проводника.

Это значит, что векторы H и B направлены по каса- тельной к поверхности раздела металл-воздух.

Из закона полного тока для вектора H следует, что в

этом случае вектор напряженности не терпит разрыва на границе среды, а вектор магнитной индукции меняется скачком. Происходит явление, обратное тому, которое

наблюдалось на границе сердечник-воздух в случае тороидальной катушки с воздуш- ным зазором. Так, при переходе через границу скачком менялась напряженность поля, вектор индукции не претерпевал разрыва – линии индукции и напряженности были перпендикулярны к границе раздела.

Можно предположить, что в толще проводника (r ≤ r0) вектор напряженности будет зависеть от расстояния r, а так как проводник сделан из ферромагнетика, то проводник в целом нельзя охарактеризовать некоторым определенным значением магнитной про- ницаемости μ.

Решение. Чтобы найти значение H внутри и вне проводника, воспользуемся зако- ном полного тока. Проведем контуры интегрирования в форме окружностей, причем одну из них радиусом r1, вторую радиусом r2; для обоих контуров угол (H, dl) = const и абсолютное значение H в любой точке каждого из них будет оставаться постоянным. Учитывая эти условия, получаем

Сумма токов, сцепленных с первым контуром интегрирования (r1 ≤ r0), будет зави-

Подставляя выражения (1), (2) и (3) в закон полного тока, который в системе СГСМ за-

писывается в виде

òHdl = 4π åI ,

L

получаем: для r = r1

H1 = 2ir1 =1,0 Э ;

r02

для r = r2

H2 = 2i = 1,3 Э . r2

По графику рис. 107 находим значение индукции для r = r1:

B1 = 5800 Гс .

Значение индукции B2 численно равно напряженности в этой точке, так как магнитная проницаемость вакуума равна единице, т. е. для r = r2

B2 = 1,3 Гс .

Рассмотрим, как меняются напряженность и индукция магнитного поля при изме- нении расстояния r от оси проводника до заданной точки:

при r ≤ r0

При r = r0 обе формулы дают одинаковое значение напряженности:

H2 = 2i = 2 Э . r0

Таким образом, H внутри проводника прямо пропорционально r, вне проводника – обратно пропорционально r. При r = r0 напряженность магнитного поля разрыва не терпит.

Характер зависимости B(r) вне проводника, т. е. при r > r0 будет такой же, как и для напряженности. Найти в явном виде функцию B(r) для точек внутри провода нельзя, так как нет аналитической зависимости между B и H, но, пользуясь графиком рис. 107, можно найти значения индукции в определенных точках:

График B(r) (рис. 108) для точек внутри проводника оказывается идентичен графи- ку B(H). При r = r0 индукция скачком меняется от 8400 Гс (внутри проводника) до 2 Гс (вне его).

Рис. 108.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА».

ЭЛЕКТРОСТАТИТКА

I. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Силовая характеристика поля – напряженность – является векторной величиной, оп- ределяемой выражением E = F/q, где F – сила, описывающая действие поля на пробный заряд q, внесенный в данную точку поля. Направление вектора Е совпадает с направ- лением силы, описывающей действие поля на положительный пробный заряд.

Энергетическая характеристика поля – потенциал – является скалярной величиной. Потенциал φ связан с напряженностью поля соотношениями:

В формуле (1) φB – потенциал в точке В. Интегрирование проводится от точки В до точки K, в которой потенциал принят равным нулю (начало отсчета потенциала). Этот ин- теграл численно равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного по- ложительного заряда из точки B в точку K.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 не зависит от выбора точки нулевого

(dr в формулах (1) и (3) – элементарное перемещение).

Дифференциальная связь между потенциалом и напряженностью в координатной форме записи (декартовы координаты) имеет вид:

В случае плоской симметрии поля, когда потенциал зависит только от одной коор- динаты, например, x