Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Равенство (8), аналогично выражениям (2) и (6), справедливо в отдельных частных случаях, например для тонкой тороидальной катушки.

Задачи настоящего параграфа ставят своей целью научить студентов пользоваться законом полного тока в среде и познакомить их с некоторыми свойствами магнетиков, в основном ферромагнетиков. Понятие магнитного сопротивления и другие вопросы, изучаемые в электротехнике, не затрагиваются. Как и обычно, большинство задач ре- шается в СИ. Размерность напряженности поля (в любой системе), как видно из закона полного тока,

dim H = iL−1 .

Соответственно в СИ единица измерения напряженности 1 А/м, в системе СГСМ –

СГСМl = 1Э . При нахождении соотношения между этими единицами следует пом-

см нить, что система единиц СИ рационализованная, т. е. в закон Био-Савара-Лапласа был

введен множитель 41π , поэтому

Задача 1

Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из N = 500 витков. Средний радиус тороида r = 8 см. Найти индукцию магнитного поля внутри тороида, относительную магнитную проницаемость и интенсивность намагни- чения сердечника, если ток в обмотке i = 0,5 А; 1 А; 2 А. Кривая намагничения данного сорта железа приведена на рис. 106 (кривая 1).

Анализ. Следует, прежде всего, обратить внимание студентов на то, что каждый ферромагнетик характеризуется собственной кривой намагничения, т. е. собственным ходом зависимости индукции магнитного поля от его напряженности. Эта кривая ха-

рактеризует данное вещество независимо от размеров и формы сердечника и может быть получена только опытным путем – никакой явной аналитической связи между ве- личинами B и H нет. Поэтому, если, например, с помощью закона полного тока можно будет найти напряженность магнитного поля, то индукцию его, а также характеристики

сердечника (относительная проницаемость, интенсивность намагничения) могут быть найдены только при наличии кривой намагничения.

Решение. Рассмотрим, можно ли с помощью закона полного тока найти напряжен- ность магнитного поля. Однородность сердечника, а также конфигурация самих токов (тонкая тороидальная катушка) позволяют предполо- жить, что линии напряженности, как и линии индук- ции, будут представлять собой окружности, концен- тричные самому тороиду, и что в разных точках такой

окружности напряженность поля по модулю будет одинаковой. Контур L интегрирования согласно ука- Рис. 106. занным выше предположениям следует выбрать в ви-

де окружности, также концентричной заданному тороиду. Если направление обхода контура выбрать в направлении вектора H, то во всех точках контура угол (H, dl) = 0,

поэтому

ò d = òHdl .H l

следовательно,

H× 2πr = åI .

Вданной задаче сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,

Подставляя выражение (2) в формулу (I), находим H для трех значений i, заданных в условии:

H = 2NIπr = 0,5 ×103 Ам ;1,0 ×103 Ам ; 2,0 ×103 Ам .

Пользуясь приведенным графиком, найдем соответственно три значения индукции магнитного поля:

B =1,07 Тл;1,26 Тл;1,45 Тл .

Надо обязательно подчеркнуть, что при наличии сердечника никакой пропорцио- нальности между индукцией B магнитного поля и током в обмотке не существует. Дей- ствительно,

Таким образом, с ростом тока, с ростом напряженности магнитного поля относительная магнитная проницаемость падает, и рост J замедляется – сердечник приближается к на- сыщению.

Интересно отметить, что интенсивность намагничения в 103 раз больше напряжен- ности поля, следовательно, индукция B' поля микротоков соответственно на три поряд- ка выше индукции B0 поля макротоков.

Задача 2

Два одинаковых тонких железных кольца (r = 10 см) имеют обмотки по N = 100 витков каждая. В одном из колец имеется воздушный зазор толщиной l' = 1 мм. Какой силы ток надо пустить по обмотке кольца с зазором, чтобы создать в нем ту же индук- цию, что и в первом (сплошном) кольце при токе i1 =1,25 А? Потоком рассеяния в воз- душном зазоре второго кольца пренебречь. Кривая намагничения железа, из которого сделаны оба кольца, приведена на рис. 106 (кривая 1).

Анализ. Индукция B1 магнитного поля в первом кольце может быть найдена так же, как и в предыдущей задаче. Применяя закон полного тока для H, найдем значение напряженности поля и по графику рис. 106 определим индукцию.

Рассмотрим теперь второе кольцо (с воздушным зазором). Непрерывность линий

индукции обусловливает равенство магнитных потоков в сердечнике и в воздушном зазоре, т. е.

Fс = Fв .

Площадь сечения потока индукции в воздухе обычно больше, чем в сердечнике, т. е. образуется так называемый поток рассеяния. Разница между площадями зависит только от формы сердечника, и она тем меньше, чем меньше толщина воздушного зазора. Со-

òHdl = òHdl + òHdl .

Считая напряженность поля внутри сердечника постоянной и равной Hс, внутри зазора

Сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,

åI = Ni2 ,

где i2 – искомый ток в обмотке второго кольца. Таким образом, согласно уравнению (2)

Так как B1 = 0,8 Тл,

Hв = 6,4 ×103 Ам .

Подставляя эти значения в формулу (3), получаем i2 = 7,6 А .

Изменение формы сердечника (наличие воздушного зазора толщиной в 1 мм) при- водит к тому, что для создания такого же магнитного поля, как и в сплошном сердеч- нике, силу тока в обмотке надо увеличить почти в 6 раз. Воздушный зазор как бы раз- магничивает сердечник. Это размагничивающее действие зависит, во-первых, от формы сердечника: чем больше величина воздушного зазора, тем сильнее размагничивающее действие, так как больше будет величина второго слагаемого в левой части равенства

(3). Во-вторых, размагничивающее действие тем больше, чем больше роль микротоков в создании результирующего поля, т. е. чем ближе значение μ к максимальному (мате-

матически увеличение μ опять приводит к росту того же второго слагаемого в левой части равенства (3)).

Задача 3

В тонкой тороидальной катушке (N = 200 витков, i = 2 А) сердечник выполнен из железа, кривая намагничения которого приведена на рис. 106 (кривая 1). Найти индук- цию магнитного поля, если в сердечнике имеется воздушный зазор толщиной l' = 0,5 мм; средняя длина сердечника l = 20 см. Потоком рассеяния в зазоре пренебречь.