Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Так как возникающая ЭДС индукции «направлена» навстречу току, то разность потен- циалов на клеммах обмотки будет, очевидно, складываться из напряжения в обмотке и

Ei, т. е.

ϕ1 -ϕ2 = iR2 + Ei = iR2 + FNn = 60 В.

Задача 7

В середине основания тонкого длинного соленоида (I = 5 А; n = 200 витков/см) по- мещена маленькая рамка, состоящая из N = 100 витков площадью S = 1 см2. Какое ко- личество электричества пройдет через рамку, если ее перенести в центр соленоида? Сопротивление рамки R = 5 Ом.

Анализ. Рассмотрим, прежде всего, какие допущения должны быть сделаны при решении задачи.

1. Согласно условию значения индукции поля в середине основания соленоида и в

2.В пределах передвигаемой рамки поле можно считать однородным, так как по условию рамка «маленькая», т. е. ее размеры малы по сравнению с площадью витков соленоида.

3.Ток в соленоиде постоянный; это значит, что магнитное поле тока, индуцируемо- го в рамке, не действует на соленоид. Такое предположение означает, что рамка пере- мещается очень медленно. Необходимо подчеркнуть, что изменение скорости движе- ния будет менять силу тока в рамке, но количество электричества Q, проходящее через рамку, будет неизменным, так как оно определяется только разностью начального и ко- нечного значений потоков, пронизывающих рамку:

Решение. Условие однородности поля в пределах рамки позволяет легко найти по- токи Φ1 и Φ2.

Предположим, что положительная нормаль рамки направлена навстречу полю со- леноида. Тогда

Подставляя в выражения (3) формулы (1), получаем

F1 = - μ20 InSN ,

F2 = -μ0 InSN ,

откуда согласно формуле (2) искомое количество электричества

Q = μ20 RI nSN = 1,25×10−4 Кл .

Искомое значение Q получилось положительным, это значит, что положительное направление нормали выбрано правильно, и ток, индуцируемый в рамке, направлен на- встречу току в соленоиде.

§ 3. САМО- И ВЗАИМОИНДУКЦИЯ. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ

При решении задач данного параграфа главный упор следует делать на осмыслива- ние самого явления, не увлекаясь расчетами коэффициентов индуктивности и взаимной индукции. Необходимо неоднократно подчеркнуть, что коэффициенты L и M зависят от геометрии проводников и не зависят от силы тока только при отсутствии ферромагне- тиков.

При расчете магнитной энергии используется выражение энергии проводника, об- текаемого током:

W = L I 2 , 2

и выражение для плотности энергии магнитного поля

ωm = B2 . 2μ0

Задача 1

Две катушки, индуктивности которых равны L1 = 3 мГн и L2 = 5 мГн, соединены последовательно так, что их магнитные поля направлены в одну сторону; при этом ин- дуктивность всей системы оказалась равной 11 мГн. Найти индуктивность L' системы, если катушки переключить так, чтобы их поля были направлены навстречу друг другу. Взаимное расположение катушек при этом не меняется.

Анализ. Индуктивность системы определяется суммарным потоком сцепления. Первая катушка пронизывается собственным потоком Φ11 и потоком Φ21, созданным

Рис. 103.

второй катушкой. Вторая катушка пронизывается также собственным потоком Φ22 и потоком Φ12, созданным первой катушкой. До переключения катушек их поля направ- лены в одну сторону (рис. 103, а), и потоки складываются:

После переключения катушек (рис. 103, б) суммарный поток сцепления

Знаки «минус» показывают, что поле первой катушки направлено навстречу собствен- ному полю второй катушки, поэтому угол между вектором индукции B1 поля, создан- ного первой катушкой, и положительным направлением нормали второй катушки равен π; поток, созданный первой катушкой и пронизывающий вторую, отрицателен. Под ве- личиной Φ12 имеют в виду абсолютное значение потока. То же самое можно сказать и о потоке, созданном второй катушкой и пронизывающем первую.

Решение. Потоки Φ12 и Φ21 в данном случае равны друг другу, так как катушки со- единены последовательно и, следовательно, обтекаются одинаковым током, т. е.

Подставляя выражения (3) и (4) в равенства (1) и (2) и учитывая, что суммарный поток сцепления Φ = Li, получаем, что до переключения индуктивность системы

L'= 2(L1 + L2 )- L = 5 мГн .

Задача 2

Длинный проводник радиуса r0 = 2 мм согнут пополам так, что расстояние между осями его половинок a = 3 см. Пренебрегая полем внутри проводника, рассчитать ин- дуктивность системы и ее энергию на каждый метр длины.

Сила тока в проводнике I = 3 А.

Анализ. На рис. 104 видно, что поля, созданные каждой частью получившейся петли, между проводниками направле- ны в одну сторону. За пределами петли поля направлены в разные стороны. Для того чтобы вычислить полный поток системы, надо рассчитать поток, пронизывающий плоскость,

ограниченную петлей. Продолжать плоскость за пределы

Рис. 104.

петли не надо, иначе каждая силовая линия будет учитываться дважды.

Решение. Для расчета потока надо знать индукцию результирующего поля как функцию расстояния x. Если предположить, что проводник настолько длинен, что можно пренебречь полями токов в подводящих проводах и горизонтальной части про- водника, то

Элемент площадки dS следует выбрать в виде узкой полоски толщиной dx и длиной l = 1 м.

Учитывая, что рассчитывается собственный поток системы, и поэтому угол между нормалью к площадке и вектором индукции поля равен нулю, можно записать

Здесь так же, как и в задаче № 5 § 1 данной главы, нельзя предполагать линейность токов. Индуктивность системы и ее энергия обратятся в бесконечность при r0 → 0.

Задача 3

Тороидальная катушка (без сердечника) состоит из двух обмоток, навитых одна по- верх другой, по тысяче витков каждая. Обмотки соединены последовательно, их маг- нитные поля направлены в одну сторону.

Найти магнитную энергию такой катушки. Как изменится эта энергия, если одну из обмоток отключить?

Ток в обмотке I = 5 А; средняя длина тороида l = 25 см; поперечное сечение

S = 1 см2.

Анализ и решение. Размеры тороида, данные в условии, показывают, что тороид тонкий, поэтому поле внутри него можно считать однородным. Это позволяет легко найти магнитную энергию через плотность энергии магнитного поля:

где V = Sl – объем пространства, в котором сосредоточено магнитное поле рассматри-

Внутри тонкого тороида индукция поля

где N – общее число витков обеих обмоток.

Подставляя написанные выше значения V и ωm и выражение (2) для B в формулу (1), получаем

W = μ0l2 N 2 S = 25 ×10−3 Дж . 2l

При отключении одной из обмоток число витков и, следовательно, индукция маг- нитного поля уменьшаются вдвое. Энергия магнитного поля уменьшится вчетверо.

Этот результат надо особенно подчеркнуть. Если каждую из обмоток рассматри- вать как самостоятельную систему, то полная энергия

W = W1 +W2 +Wвз ,

где W1, W2 – магнитные энергии каждой из обмоток; Wвз – взаимная энергия. Выражая энергии через магнитные потоки, находим

W1 = i1F211 , W2 = i1F222 ,

Wвз = i1F21 = i2F12 .

Здесь Φ11, Φ22 – собственные потоки соответственно первой и второй обмоток; Φ12 – поток, созданный первой обмоткой и пронизывающий вторую; Φ21 – поток, созданный второй обмоткой и пронизывающий первую. Ввиду полной идентичности обмоток все потоки равны между собой, поэтому

W1 = W2 = 12Wвз .

Отсюда вытекает, что отключение одной из обмоток уменьшает энергию системы в че- тыре раза.