Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Задача 5

В однородном магнитном поле B, направленном вертикально, в плоскости, перпен- дикулярной линиям индукции, расположены параллельные шины, замкнутые на сопро- тивление R. По шинам, расстояние между которыми l, может свободно двигаться про- водник массой m.

Какую силу надо приложить к проводнику, чтобы он двигался поступательно с по- стоянной скоростью v, направленной вдоль шин?

Каков будет закон движения проводника, если ему сообщить начальную скорость v0 вдоль шин и к нему не прикладывать внешних сил? Какое количество джоулевой те- плоты выделится на сопротивлении R за все время движения проводника?

Каков будет закон движения проводника, если на него действует постоянная сила F, параллельная шинам, а начальная скорость отсутствует?

Сопротивлением шин н самого проводника пренебречь.

Анализ. При движении в магнитном поле в проводнике появится Ei, и так как ши-

Вследствие этого на проводник со стороны пиля будет действовать, помимо внеш- ней, приложенной силы F, сила Ампера FА, которая по правилу Ленца будет обязатель- но тормозить проводник.

Предположим для определенности, что направления начальной скорости v0 и при- ложенной силы F совпадают, и примем это направление за положительное. Тогда урав- нение движения проводника на основании II закона Ньютона можно записать в виде

так как проводник прямой и располагается в плоскости, нормальной к линиям индук- ции однородного поля.

Подставляя выражения (3) и (4) в равенство (2), получаем

Уравнение (5) позволяет при заданных начальных условиях найти закон движения проводника в любом из указанных случаев.

Это уравнение можно было получить и из энергетических соображений. Сумма из- менения кинетической энергии проводника и джоулевой теплоты, выделяющейся на омическом сопротивлении R за некоторый малый промежуток времени dt, должна рав- няться работе δA приложенной силы F, т. е.

джоулева теплота с учетом (4)

δQ = i2Rdt = B2l2v2 dt ; R

работа силы

δA = Fdx = Fvdt ,

где dx = vdt – перемещение проводника за рассматриваемый промежуток времени dt. Следовательно, равенство (6) при подстановке этих выражений и сокращении на v при-

мет вид

mdv + B2l2 vdt = Fdt , R

что в точности совпадает с уравнением (5).

Надо обязательно подчеркнуть, что работа против силы Ампера тождественно рав- на количеству джоулевой теплоты, выделяемому на сопротивлении R.

причем искомая сила F должна быть обязательно направлена так же, как и заданная скорость движения проводника.

Согласно равенству (6) для этого случая работа, совершаемая приложенной силой, будет равна количеству джоулевой теплоты, выделяемому в проводнике.

Если проводнику сообщается начальная скорость, а внешняя сила отсутствует, то уравнение (5) примет вид

m dv = - B2l2 v . dt R

Производя разделение переменных и заменяя через B2l2 через k, получаем mR

dvv = -kdt .

Интегрирование в пределах от t = 0 до t с учетом начальных условий (vt =0 = v0) дает

и при интегрировании по всему времени движения от t = 0 до t = ∞ (так как согласно формуле (8) проводник теоретически будет двигаться бесконечно долго) получим

Если на проводник действует сила F, а начальная скорость отсутствует, то из урав- нения (5) следует, что проводник сначала будет двигаться ускоренно и, когда прило- женная сила F и сила Ампера уравновесят друг друга, скорость его станет максималь-

ной и равной

vmax = BFR2l2 .

Заменяя в уравнении (5) B2l2 через k и разделяя переменные, приведем его к виду: mR

При изменении времени от 0 до t скорость меняется от 0 до v. Интегрирование в указанных пределах приводит к результату:

Это есть известное нам уже выражение для vmax.

Сила тока в проводнике будет, очевидно, меняться по тому же закону, что и ско-

мерном движении проводника. Чтобы найти смещение x проводника как функцию вре- мени, воспользуемся формулой (9):

dxdt = mkF − mkF e−kt .

Умножая обе части равенства на dt и интегрируя правую часть в пределах от 0 до t, ле- вую – от x0 до x, получаем

x − x0 = mkF t + mkF 2 e−kt − mkF 2 ,

где x0 –положение проводника в момент t = 0.

Задача 6

Найти разность потенциалов на клеммах обмотки якоря двухполюсного мотора по- стоянного тока, принципиальная схема которого показана па рис. 102. Устройство яко- ря таково, что направление тока в обмотке постоянно от- носительно полюсов магнита.

Обмотка якоря состоит из N = 240 проводников. Ток I

= 15 А, поступающий в обмотку, разветвляется на две рав- Рис. 102. ные части, протекающие по параллельным ветвям обмот-

ки. Сопротивление каждой ветви R = 1,6 Ом. Магнитный поток, пронизывающий якорь, Φ = 8 · 10-3 Вб, мотор делает n = 1500 об/мин.

Анализ. Согласно условию скорость вращения якоря мотора постоянна. Рассмот- рим, как устанавливается постоянная скорость.

При включении тока на каждый виток обмотки со стороны магнитного поля дейст- вует вращающий момент, и якорь приобретает угловое ускорение. По мере возрастания скорости увеличивается ЭДС индукции, «включенная», согласно правилу Ленца, про- тив источника, питающего обмотку; ток в цепи уменьшается. Это приводит к уменьше- нию вращающего момента и, следовательно, к уменьшению углового ускорения. При отсутствии нагрузки на валу мотора и при отсутствии трения скорость якоря будет по- стоянной только при исчезновении тока в обмотке, т. е. тогда, когда ЭДС индукции полностью скомпенсирует ЭДС источника, питающего обмотку якоря. В действитель- ности, равномерное движение наступит при условии, что вращающий момент, обу- словленный действием магнитного поля на ток в обмотке якоря, равен моменту всех сил трения, включая и трение на валу мотора (реакция нагрузки). Таким образом, вели- чина установившейся скорости вращения якоря зависит от нагрузки. При равномерном вращении якоря работа, совершаемая за некоторый промежуток времени источником, питающим якорь мотора, равняется сумме работ против внешних сил и количества джоулевой теплоты, выделяющегося в обмотке и на подводящих проводах.

Решение. Форма полюсных наконечников обеспечивает радиальное направление линий индукции в воздушном зазоре, поэтому все проводники обмотки при вращении якоря пересекают за один и тот же промежуток времени одинаковые потоки.

Для расчета ЭДС индукции, возникающей в одном проводнике, можно подсчитать поток, пересекаемый проводником за любой конечный промежуток времени, например,

за время T2 , где T – время одного оборота якоря.

дукции в одном проводнике

Ei '= 2Φn .

ЭДС индукции в каждой ветви равна суммарной ЭДС индукции в обмотке якоря: Ei = N2 Ei '= ΦNn .