dΦ > 0 . dt
Индуцируемый ток, возникающий при этом в проводнике,
Ii = − R1 ddtΦ < 0 .
Следовательно, направление нормали выбрано неверно: если смотреть «от нас», т. е. с конца выбранного вектора нормали, то ток будет идти по часовой стрелке.
Проверим по правилу Ленца: ток, идущий так, как показано на рисунке, будет соз- давать собственное поле, направленное навстречу внешнему, т. е. препятствующее уве- личению внешнего магнитного потока.
2.Предположим, что плоскость рисунка перпендикулярна плоскости магнитного меридиана, и тогда горизонтальная составляющая земного поля направлена, как пока- зано на рис. 98, б. При перемещении проводника вниз с ним вместе движутся вниз и свободные электроны. Если расположить левую руку так, чтобы линии индукции вхо- дили в ладонь, а вытянутые пальцы навстречу скорости проводника, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на электроны. Сле- довательно, у левого конца движущегося проводника будут накапливаться электроны.
Проверим по правилу Ленца: если шины замкнуть, то по проводнику пойдет ток. Ток в движущемся проводнике направлен от «–» к «+» (надо указать, что рассматри- ваемый проводник представляет собой источник, в котором действует стороннее поле; внутри источника ток всегда идет от «–» к «+».
На этот ток будет действовать сила Ампера, направленная вверх, т. е. препятст- вующая начальному движению проводника.
3.Поток, пронизывающий диск, остается все время постоянным, но любой радиус диска при вращении будет пересекать линии индукции. Свободные электроны будут двигаться вместе с диском, и, следовательно, на них со стороны поля будет действовать лоренцева сила. Предположим, что поле направлено так, как показано на рис. 98, в. Рассмотрим мысленно выделенный радиальный участок 1-2. При указанном направле- нии вращения сила Лоренца, действующая на электроны рассматриваемого участка, будет направлена к центру диска. В центре будет происходить накопление отрицатель- ных зарядов, на ободе – положительных. Следует показать, что такое же распределение зарядов получится в любом другом радиальном участке.
Проверим по правилу Ленца: если к оси и ободу диска подвести скользящие кон- такты, от которых идут провода, замкнутые на сопротивление, то по цепи пойдет ток. В
диске ток будет опять идти от «–» к «+», т. е. от центра к ободу. Амперова сила, дейст- вующая на этот ток, направлена в сторону, противоположную вращению диска, т. е. будет препятствовать его начальному движению.
Задача 2
В центре плоской круглой рамки, состоящей из N1 = 50 витков радиусом r = 20 см каждый, расположена маленькая рамка, состоящая из N2 = 100 витков площадью S = 1 см2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с по- стоянной угловой скоростью ω = 300 с-1. Найти максимальное значение возникающей Ei, если в обмотке первой рамки идет ток I = 10 А.
Плоскости обеих рамок в начальный момент совпадают.
Анализ. Так как вторая рамка мала по сравнению с первой, индукцию поля в ее пределах можно считать постоянной и равной индукции поля в центре первой рамки,
т. е.
B = μ20rI N1 .
Выберем положительное направление нормали к маленькой рамке по внешнему полю (рис. 99). Тогда в начальный момент магнитный
Рис. 99. поток сцепления маленькой рамки Φ0 = BSN2 .
При вращении маленькой рамки поток будет меняться вследствие изменения угла φ = (n0, B). Следовательно, в маленькой рамке будет возникать электродвижущая сила
Ei = − ddtΦ .
Решение. Так как скорость вращения рамки постоянна, то в любой момент времени угол φ = ωt и поток, пронизывающий маленькую рамку, равен
Φ = BSN2 cosωt . (2)
Подставляя сюда значение B из формулы (1), находим Φ = μ20rI SN1N2 cosωt .
Отсюда выражение для ЭДС индукции будет иметь вид
Ei = − ddtΦ = μ20rI SN1N2ω sinωt .
Экстремального значения Ei будет достигать каждый раз, когда sin ωt будет обращаться в ± 1, т. е. когда
ωt = (2n +1)π2 .
При этом
Ei max = - ddtF = μ20rI SN1N2ω = 4,7 ×10−3 эВ .
Рассмотрим несколько подробнее изменение знака Ei за время одного полного обо- рота рамки. При выбранном направлении нормали Ei > 0, если ωt ≤ π.
В момент, когда ωt окажется равным π, знак ЭДС индукции изменится на противо- положный. В этот момент плоскость рамки расположится перпендикулярно внешнему полю, и, следовательно, поток будет равен нулю.
Задача 3
В однородном магнитном поле вращается плоская прямоугольная рамка. Ось вра- щения перпендикулярна линиям индукции и расположена (рис. 100): а) вдоль средней линии рамки; б) вдоль одной из ее сторон; в) на некотором расстоянии от рамки. Оди- наковая ли ЭДС индукции возникнет в рамке во всех трех случаях, если скорость ее вращения ω не меняется?
Анализ. Рассмотрим каждый случай в отдельности. В случае а) обе стороны рамки, параллельные оси, пересекают при своем движении линии индукции поля, и ЭДС ин-
Рис. 100.
дукции возникает в обеих сторонах, притом направление их одинаково. Например, в момент, изображенный на рис. 100, а, согласно правилу левой руки получим, что в ле- вой стороне отрицательные заряды будут скапливаться наверху, в правой – внизу. Сле- довательно, результирующее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, будет вдвое больше ЭДС индукции, возникающей в одной из ее сторон. В случае б) движется только одна сторона. В случае в) вновь в движении находятся обе стороны, но теперь возникающие в них ЭДС индукции «направлены» навстречу друг другу: и в левой, и в правой сторонах отрицательные заряды будут скапливаться вверху, результирующая
ЭДС индукции будет равна разности E1 – E2, где E1 и E2 – электродвижущие силы ин- дукции, возникающие соответственно в первой и второй сторонах рамки. Однако Ei, возникающая в прямолинейном проводнике, всегда прямо пропорциональна его линей- ной скорости.
В случае а) ЭДС индукции, возникающая в каждой стороне, равна Ei = kω 2l ,
где l – длина стороны рамки, перпендикулярной оси; k – коэффициент пропорциональ- ности, зависящий от длины проводника, индукции поля и, в данном случае, от положе- ния рамки в рассматриваемый момент времени. Суммируя ЭДС по обеим сторонам, по-
лучаем
Eа = kωl .
Вслучае б) линейная скорость стороны 2, находящейся в движении,
v= ωl ,
поэтому
Eб = kωl .
В случае в)
E 2 = kωx0 ,
где x0 – расстояние от стороны 1 до оси вращения; E1 = kω(x0 + l).
Беря, как было указано выше, разность этих величин, находим Eв = kωl ,
т. е. во всех трех случаях ЭДС индукции должна быть одинаковой, независимо от рас- положения оси.
Формальное применение выражения Ei = ddtΦ дает тот же результат, так как закон изменения потока во всех трех случаях одинаков.
Задача 4
В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I = 20 А на расстоянии x0 = 1 см находятся две шины, параллельные току I. По шинам поступательно переме- щается проводник длиной l = 0,5 м. Скорость его v = 3 м/с, постоянна и направлена вдоль шин. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.
Анализ. Прежде всего найдем знак ЭДС индукции, возникающей в проводнике l (рис. 101). Поле тока I ниже самого проводника будет направлено, как показано на ри-
Рис. 101.
сунке, «от нас». Применяя правило левой руки, находим, что на ближайшем к току I конце проводника l будут накапливаться положительные, на дальнем – отрицательные заряды. Следовательно,
ϕ1 -ϕ2 = Ei .
Сложность нахождения Ei в данном случае заключается в том, что индукция магнитно- го поля прямого тока меняется вдоль движущегося проводника. Рассмотрим небольшой участок dx проводника l. Как обычно, будем считать dx настолько малым, что в его пределах поле будет постоянным. Тогда разность потенциалов на таком участке равна
dϕ = Bdx × v .
Здесь B – индукция поля, создаваемого током I на участке dx. Интегрируя полученное выражение по всей длине движущегося проводника, найдем искомую разность потен- циалов.
Решение. Если обозначить через x расстояние от прямого тока до рассматриваемо- го участка, то индукция поля на рассматриваемом участке dx:
B= μ0 I
2πx
и
dϕ = 2μπ0xI dx × v .
При суммировании по всему проводнику l расстояние x будет меняться от x0 до x0 + l.
Тогда
2 |
μ |
x0 +l dx |
|||
ϕ -ϕ |
ò |
dϕ = |
2π |
ò x |
|
1 |
2 |
||||
1 |
x0 |
Производя интегрирование, получаем
ϕ1 -ϕ2 = μπ0 Ivln x0x+ l = 4,7 ×10−3 В. 2 0