вым линиям поля. Каковы должны быть направление и величина индукции магнитного поля, чтобы электрон не испытывал отклонений?
Анализ. По условию задачи силы, действующие на электрон со стороны электри- ческого и магнитного полей, должны быть направлены в противоположные стороны и равны по величине, т. е.
- Fe = Fm .
Сила Fe = eE; она направлена против вектора E (рис. 96). Следовательно, сила Fm = e[vB] должна быть параллельна силовым линиям электрического поля. Применяя пра- вило левой руки, но направляя согласно этому правилу вытянутые пальцы против ско- рости электрона (заряд электрона отрицателен и векторное произведение [vB] направ- лено против силы Fm), находим, что магнитное поле должно быть перпендикулярно плоскости рисунка и направлено «от нас».
Решение. |
Найдем теперь индукцию магнитного поля. Так как Fm = evB |
|||
é |
угол (v,B)= |
π |
ù |
и Fe = eE, то |
ê |
2 |
ú |
||
ë |
û |
|||
evB = eE .
Отсюда
B = Ev .
Скорость электрона
v = 2W .
me
Здесь me = 9 · 10-31 кг – масса электрона, W = 103 эВ = 1,6 · 10-19 Дж (по условию). Таким образом,
B = E |
me |
= 4,2 ×10−3 Тл . |
|
2W |
|||
Проверим размерность последней формулы:
в левой части
[B]= Тл = Вм×2с ;
в правой части
é |
m ù |
В× кг1 2 × с |
В× с |
||||||
êE |
e |
ú |
= |
= |
2 . |
||||
м × кг |
1 2 |
× м |
м |
||||||
ë |
2W û |
||||||||
Задача 13
Электрон движется в магнитном поле, индукция которого B = 50 Гс, по винтовой линии с радиусом r = 2 см и шагом «винта» h = 5 см. Определить энергию электрона в электронвольтах и направление вектора скорости в начальный момент.
Анализ. На электрон, влетающий в магнитное поле со скоростью v, действует сила FЛ = e[vB]; направление этой силы меняется в пространстве по мере изменения направ- ления вектора v, вызванного действием этой силы; при этом она остается все время перпендикулярной к вектору скорости. Это означает, что под действием магнитной со-
ставляющей силы Лоренца движущийся заряд может приобретать только нормальное ускорение.
Если бы электрон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, то он двигался бы по дуге окружности в плоскости, перпендикулярной к линиям индук- ции. Движение по винтовой линии (рис. 97) с постоянным шагом означает наличие составляющей скорости, направленной вдоль поля и, следовательно, не меняющейся ни по величине, ни по на- правлению. Надо отметить, что при движении по винтовой линии вектор результирующей скорости электрона меняет свое направ-
ление в пространстве, но не меняется по величине, следовательно, и кинетическая энер- гия электрона остается постоянной. Это означает, что магнитная составляющая силы Лоренца никогда не совершает работы.
Решение. Представим вектор начальной скорости v как сумму двух скоростей v = v1 + v2, где v1 направлена вдоль поля, v1 перпендикулярна индукции B.
Радиус винтовой линии определяется из равенства mean = FЛ ,
v2 |
m v2 |
|||
e |
2 = ev B |
|||
r |
2 |
|||
и |
v |
= rBe . |
(1) |
|
где an = |
2 |
. Отсюда |
||
r |
||||
2 me
Шаг «винта» определяется соотношением
h = v1T ,
где T – период обращения электрона, равный
T = |
2πr |
2π |
|||
v2 |
= |
. |
|||
e |
|||||
B m |
|||||
e |
|||||
Следовательно, продольная составляющая скорости
hB |
e |
||||
v = |
m |
||||
e |
. |
(2) |
|||
1 |
2π |
||||
Кинетическая энергия электрона с учетом выражений (1) и (2) равна
mev |
2 |
2 |
B |
2 |
æ |
2 |
h |
2 |
ö |
|||
e |
ç |
÷ |
||||||||||
W = |
2 |
= |
2m |
çr |
+ |
÷ . |
||||||
4π 2 |
||||||||||||
e |
è |
ø |
||||||||||
Расчет дает
W = 1,64 ×10−18 Дж »103 эВ.
Угол α может быть найден из отношения скоростей v1 и v2:
α = arctg v2 = arctg 2πr . v1 h
Подставляя числовые значения r и h, находим α = 68o .
В ходе данного занятия крайне важно научить студентов не только рассчитывать значения Ei и индуцируемого тока, но и анализировать всю совокупность явлений, свя- занных с электромагнитной индукцией. Возникновение индуцируемого тока неизбежно приводит к изменению условий и характера движения проводника. Если же по услови- ям задачи они остаются неизменными, то это всегда означает действие внешних сил. Очень важен также энергетический анализ рассматриваемых явлений.
Часть задач настоящего параграфа содержит несколько вопросов. В более слабых аудиториях эти задачи рекомендуется разбить на отдельные. Некоторые вопросы мож- но рассматривать качественно (например, второй и третий вопросы в задаче № 5).
Задача 1
Найти, не пользуясь правилом Ленца, направление индуцируемого тока и знак Ei в следующих случаях:
1)если в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям ин- дукции, находится замкнутый провод, сложённый в виде узкого прямоугольника и по- степенно деформируемый в квадрат;
2)если в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости магнитного мери- диана, расположены параллельные шины, по которым свободно соскальзывает провод- ник;
3)если в плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поли, находится сплошной медный диск, вращающийся вокруг своей оси с постоянной скоростью.
Анализ и решение. 1. Предположим, что поле направлено перпендикулярно плос- кости рисунка «на нас» (рис. 98, а). В качестве положительного выберем направление
Рис. 98.
нормали к плоскости рамки также «на нас». Начальный поток в этом случае положите- лен. При деформации проводника площадь, им охватываемая, будет увеличиваться; следовательно,