Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 9

В однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположена круглая плоская рамка, состоящая из N = 10 витков площадью S = 100 см2 каждый. В обмотке рамки идет ток i = 3 А. Каково должно быть направление тока в рамке, чтобы при повороте ее на 180° вокруг одного из диаметров поле совершило по- ложительную работу? Какова величина этой работы? Индукция поля B = 1,8 · 10-5 Тл.

Анализ. Так как в начальный момент плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции, то независимо от направления тока, обтекающего рамку, вращающий мо- мент M = [pmB], на нее действующий, будет равен нулю (здесь pm – вектор магнитного момента рамки, направленный перпендикулярно к ее плоскости; в зависимости от на- правления тока угол (pm, B) будет равен либо 0, либо π).

Работа сил магнитного поля будет положительна, если в конечном положении рам- ка будет находиться в положении устойчивого равновесия, в начальном – в положении неустойчивого равновесия. При неустойчивом равновесии вектор pm должен быть ан- тиколлинеарен вектору B. Это условие и определяет направление тока в рамке. При по- вороте на 180° вектор pm будет совпадать по направлению с вектором B.

Вопрос об устойчивости равновесия лучше всего пояснить с помощью рис. 94.

Рис. 94.

На рис. 94, а рассматриваемая рамка находится в начальном положении: плоскость ее перпендикулярна линиям индукции, вектор pm направлен навстречу полю. При не- большом отклонении от этого положения (изображено пунктиром) возникающая пара сил стремится увести рамку от ее начального положения. На рис. 94, б рамка занимает конечное положение: вектор pm направлен по полю. При небольшом отклонении от этого положения (изображено пунктиром) возникающая пара сил возвращает рамку в исходное положение. Необходимо указать студентам, что в положении устойчивого

равновесия силы, действующие на рамку, растягивают ее, в положении неустойчивого равновесия – сжимают.

Анализ устойчивого и неустойчивого равновесия рамки можно выделить как само- стоятельную качественную задачу.

Решение. Работа, совершаемая магнитным полем, может быть рассчитана по фор-

муле

A = (F2 - F1 )i .

Здесь Φ1, Φ2 – потоки сцепления через рамку в начальном и конечном положениях. Очевидно, что поток Φ2 положителен, поток Φ1 равен по модулю Φ1, но отрицателен.

Поэтому

A = 2iF2 .

Однородность магнитного поля позволяет сразу найти величину потока:

F2 = BSN ,

поэтому

A = 2iBSN =1,08 ×10−5 Дж .

При решении этой задачи надо обязательно указать, что приведенная формула ра- боты справедлива только в случае постоянства тока i. Однако вращение рамки в маг- нитном поле вызовет появление в ней электродвижущей силы индукции. (Если этот ма- териал еще не прочитан на лекциях, он в достаточной мере известен из школьного кур- са.) Чтобы изменение силы тока можно было не учитывать, возникающая ЭДС индук- ции должна быть пренебрежимо мала. Это может быть достигнуто при бесконечно медленном движении рамки. А для этого на рамку помимо сил поля должны действо- вать внешние силы, практически равные силам поля, но направленные в противопо- ложную сторону. В этом случае силы поля будут совершать работу против внешних сил, и рамка не будет приобретать кинетической энергии – движение ее будет происхо- дить бесконечно медленно.

Задача 10

Используя условия задачи № 8, найти работу, которую надо совершить, чтобы: 1) перенести рамку параллельно самой себе вправо на расстояние a; 2) повернуть рамку на 180° вокруг стороны 3. Токи в рамке и в прямом проводнике считать постоянными.

Анализ. Прежде чем решать задачу, следует обратить внимание студентов на по- следнюю оговорку. Постоянство токов предполагает обязательно крайне медленное

движение рамки. В этом случае электродвижущей силой индукции, которая непремен- но должна вызывать изменение силы тока в рамке и в прямом проводнике, можно пре- небречь.

Работа, совершаемая внешними силами при перемещении рамки, равна
A'= i(Φ1 − Φ2 ),	(1)

где Φ1 и Φ2 – потоки, пронизывающие рамку в первом и во втором положениях. Начальные значения потока Φ1 в обоих случаях одинаковы и, как видно из рис. 93

задачи № 8, положительны. Конечный поток Φ2 в первом случае также будет положи- тельным, но меньшим по абсолютной величине, так как рамка отодвигается от провод- ника, создающего поле. Следовательно, работа внешних сил A' > 0.

Этот результат очевиден и из анализа сил, действующих . на рамку: сила, дейст- вующая на сторону 1 (см. рис. 93), при заданном направлении токов направлена влево и по модулю больше силы F3. Результирующая сила, действующая на рамку, будет равна разности сил F1 и F3 и также направлена влево. Поэтому, перемещая всю рамку вправо, будем совершать работу против сил поля.

Конечный поток Φ2' во втором случае будет отрицателен, и согласно формуле (1) работа A' внешних сил опять окажется положительной, так как при выведении рамки из начального положения на нее со стороны сил поля будет действовать вращающий мо- мент, который стремится вернуть ее в исходное положение.

Решение. При вычислении потока Φ1 рамку следует разбить на элементарные пло- щадки dS, в пределах которых поле прямого тока остается постоянным.

Так как индукция поля прямого тока

B =	μ0I	,	(2)
	2πx

то элементарную площадку следует выбирать в виде узкой полоски длиной b и толщи- ной dx, располагаемой обязательно параллельно току I. Тогда

dS = bdx .

(3)

В начальном положении вектор индукции и положительная нормаль к площади рамки направлены в одну сторону, поэтому

BdS = BdS .

Начальный поток, пронизывающий рамку, равен

Φ1 = òBdS .

(4)

Подставляя в (4) выражения (2) и (3) и учитывая, что переменная величина x, характе- ризующая расстояние от прямого тока до элементарной площадки dS, меняется в пре- делах от x0 до x0 + a, получаем

F1 =	μ I	x0 +a dx μ Ib			ln	x + a	.	(5)
F1 =	2π	b ò x	=	2π	ln	x	.	(5)
	0			0		0
		x0				0

1-й случай. Конечный поток Φ2 будет также положительным. Рассчитать его надо так же, как и величину Φ1, переменная x будет меняться в пределах от x0 + a до x0 + 2a. Следовательно,

F2 =	μ0Ib ln	x0 + 2a	.	(6)

	2π	x0 + a

Подставляя выражения (5) и (6) в (1), находим

A '= μ0 Iib ln		(x0 + a)2	=1,2 ×10−7 Дж .
A '= μ0 Iib ln		x0 (x0 + 2a)	=1,2 ×10−7 Дж .
1	2π
	2π

Легко видеть, что выражение, стоящее под знаком ln, больше единицы, и, следова- тельно, работа A1', совершаемая внешними силами, положительна.

2-й случай. Конечное положение рамки таково, что поток Φ2', ее пронизывающий, по модулю равен потоку Φ2, т. е.

	F2 '= -		μ0Ib ln		x0 + 2a	.

			2π		x0 + a
Работа внешних сил
A '= μ0Iib ln		x0 + 2a		= 3,2 ×10−7 Дж .

2	2π		x0

Задача 11

В центре тонкого длинного соленоида расположена маленькая плоская рамочка, состоящая из N = 20 витков площадью S = 1 см2 каждый. По рамочке идет ток i = 1 А того же направления, что и в соленоиде. Обмотка соленоида состоит из n = 50 витков на 1 см; сила тока в соленоиде I = 5 А.

Какую работу надо совершить, чтобы переместить рамочку в середину основания соленоида? Плоскость рамки перпендикулярна оси соленоида. Токи в соленоиде и в

рамке считать постоянными.

Анализ. Рассмотрим силы, действующие на рамку. Поле в соленоиде неоднородно вдоль оси: уменьшение индукции

Рис. 95.

поля от центра соленоида к основаниям объясняется рассеянием линий индукции. На рамку, внесенную в такое неоднородное поле, действуют силы, изображенные на рис. 95. Горизонтальные составляющие этих сил, обусловленные неоднородностью магнит- ного поля, будут втягивать рамку в поле, в центр соленоида. Следовательно, перемещая рамку в середину основания, внешние силы будут совершать положительную работу.

Теперь обсудим все допущения, которые указаны в условии задачи.

1. Условие «тонкий длинный соленоид» означает, что длина соленоида настолько больше его диаметра, что и в центре соленоида, и в середине его основания поле может быть рассчитано по формулам «бесконечно длинного» соленоида, т. е.

в центре	B = μ			In; ü
	1		0		ï	(1)
в середине основания	B1	=	μ0		ý
			2		In.ï
					þ

2. Задана «маленькая рамочка». Это означает, что ее размеры малы по сравнению с площадью витков соленоида, поэтому поле в пределах рамки можно считать однород- ным. Надо обязательно указать, что в любом поперечном сечении соленоида поле в разных точках этого сечения различно, и только маленькие размеры внесенной рамки позволяют рассчитать поток, ее пронизывающий, по формуле

Φ = NBS (2) (угол (n0, B), где n0 – положительная нормаль к плоскости рамки, по условию равен ну- лю).

3. Постоянство токов в соленоиде и в рамке, как обычно, обусловливает медленное движение рамки.

Решение. Работа внешних сил

A'= i(F1 - F2 ).

(2)

Здесь

F1 = NB1S ,

F2 = NB2S .

Подставляя эти выражения и соотношения (1) в формулу (3), получим

A'= μ20 NiInS = 3,14 ×10−5 Дж .

Задача 12

Электрон, обладающий энергией W = 103 эВ, влетает в одно- родное электрическое поле E = 800 В/см перпендикулярно сило-

Рис. 96.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: