Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 1103-1107

Bрасч = μ0In .

(1)

где n – число витков, приходящееся на единицу длины.

Рис. 87.

В центре конечного соленоида (рис. 87) индукция

B = 1

μ

0

In(cosα

1

- cosα

2

).

(2)

2

Легко видеть, что

cosα1 = -cosα2 =

l

.

(3)

l2 + D2

Вынося в выражении (3) l за знак радикала, получаем

cosα

=

l

= 1

-

D2

,

(4)

2

1

1+

D

2l

l2

при этом учитывается, что

D2

<< 1.

l2

Таким образом, поле в центре данного соленоида

æ

D

2

ö

ç

÷

(5)

2

B = μ0Inç1-

2l

÷ .

è

ø

По условию задачи относительная ошибка, сделанная при расчете поля по формуле (1), не должна превышать 1%.

Следовательно,

δB = Bрасч − B £ 0,01.

Bрасч

Подставляя сюда выражения (1) и (5), находим

D2 £ 0,01. 2l2

Отсюда

Dl ³ 7 .

Задача 4

Два витка радиусом r0 = 10 см каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 20 см. Найти индукцию магнитного поля в центре каждого витка и на середине прямой, соединяющей их центры, и построить график зависимости индукции от расстояния вдоль этой прямой для двух случаев: 1) витки обтекаются равными тока- ми одного направления; 2) витки обтекаются равными токами противоположного на- правления.

Сила тока в каждом витке I = 3 А. Прямая, соединяющая центры витков, перпенди- кулярна их плоскости.

Анализ и решение. В обоих случаях индукция результирующего поля будет равна векторной сумме индукций, создаваемых каждым витком в отдельности, т. е.

B = B1 + B2 .
Как известно, поле на оси витка
B =	μ Ir2		(1)
B =	2(r2 + x2 )3 2 .		(1)
	0	0
	0

Здесь r0 – радиус витка, x – расстояние от центра витка до любой точки на его оси. В центре витка x = 0, поэтому

B = μ0 I . 2r0

Рис. 88.

В первом случае (рис. 88, а) векторы B1 и B2 во всех точках прямой, соединяющей цен- тры витков, направлены в одну сторону (положительное направление выбрано напра- во), поэтому

μ

ì

r

2

r

2

ü

B =

I ï

ï

0

í

0

+

[r2

0

]3 2

ý.

(2)

(r02

+ x2 )3 2

I

2

ï

+ (a - x)2

ï

î

0

þ

Во втором случае (рис. 88, б) векторы B1 и B2 направлены в разные стороны (положи- тельное направление выбрано налево) и тогда

μ

ì

r

2

r

2

ü

B =

I ï

ï

0

í

0

-

[r2

0

]3 2

ý .

(3)

(r02

+ x2 )3 2

II

2

ï

+ (a - x)2

ï

î

0

þ

Подставляем в формулы (2) и (3) значения x, оговоренные в условии. Для 1-го случая находим:

при x = 0 и x = a

B =

μ

I é

1

+

r

2

ù

= 2,1×10−3 Тл ;

0

ê

0

ú

(r2

+ a2 )3 2

I

2

êr0

ú

ë

0

û

при x = a

2

B = μ

I

r

2

= 1,4 ×10−3 Тл .

0

I

0

æ

2

a2 ö3 2

ç

÷

çr0 +

4

÷

è

ø

Для 2-го случая:

при x = 0

B

=

μ

I é

1

-

r2

ù

= 1,7 ×10−3 Тл ;

0

ê

0

ú

(r2

+ a2 )3 2

II

2

êr0

ú

ë

0

û

при x = a

μ

I é

r2

1 ù

B

=

0

ê

0

-

ú = -1,7 ×10−3 Тл ;

+ a2 )3 2

II

2

ê(r2

r0 ú

ë

0

û

при x = a2

BII = 0 .

График зависимости B(x) для 1-го случая изображен на рис. 89, а, для 2-го случая – на рис. 89, б (кривые 2, 3 показывают ход зависимости индукций, созданных каждым витком в отдельности, кривые 1 – индукции результирующего поля).

Рис. 89.

Интересно отметить, что в первом случае независимо от расстояния a при x = a2

всегда наблюдается минимум функции B(x).

Задача 5

Ток I = 10 А течет по полой тонкостенной трубе радиуса R2 = 5 см и возвращается по сплошному проводнику радиуса R1 = 1 мм, проложенному по оси трубы. Найти ин- дукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 6 см и r2 = 2 см от оси трубы. Чему равен магнитный поток единицы длины такой системы? Всю систему счи- тать бесконечно длинной. Полем внутри металла пренебречь.

Анализ и решение. В любой точке индукция результирующего поля может быть рассчитана с помощью закона полного тока, так как бесконечная длина заданной сис- темы позволяет не учитывать поля подводящих проводов, а сама система в силу своей симметричности будет создавать поле, линии индукции которого должны представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси трубы и концен- тричные ей.

Рис. 90.

Найдем индукцию поля при r = r1 за пределами трубы (рис. 90). Проведем в плос- кости, перпендикулярной оси трубы, контур интегрирования L1 в виде окружности, центр которой лежит на оси трубы.

Запишем закон полного тока для этого контура
òBdl = μ0 åi .	(1)
L1

Выбор контура интегрирования позволяет считать, что векторы B и dl коллинеарны во всех точках контура; это значит, что

(B,dl)º 0 ; cos(B,dl)º1.

Симметричность контура относительно системы токов позволяет предположить посто- янство абсолютного значения вектора индукции во всех точках контура. Поэтому

ò	d = òBdl = B òdl .		B l	(2)
L1	L1	L1

Сумма токов, сцепленных с контуром L1, равна алгебраической сумме токов, идущих по осевому проводу и по трубе, т. е.

åi = 0 .

(3)

Подставляя выражения (2) и (3) в закон полного тока, находим

B1 = 0 .

Такой результат получится для всех точек, удовлетворяющих условию r ≥ R2.

Для нахождения поля при r = r2 проведем контур интегрирования L2. Из соображе- ний симметрии, как и в первом случае, контур следует провести в виде окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси трубы, и концентричной с ней. Тогда

òBdl = òBdl = B òdl = B × 2πr2 .			(4)
L2	L2	L2
Сумма токов, сцепленных с контуром L2, равна току в осевом проводнике, т. е.
		åi = I .	(5)

Записывая для контура L2 закон полного тока и учитывая выражения (4) и (5), получаем

B2 = μπ0rI =10−3 Тл . 2 2

Для любой точки внутри трубы R1 ≤ r ≤ R2 находим аналогичное выражение

B =	μ0 I	.	(6)

	2πr

Магнитный поток, создаваемый заданной системой, сосредоточен внутри трубы и проходит через любое осевое сечение трубы (см. рис. 90). По определению

F = òBdS .	(7)
S

Знаки векторов здесь можно опустить, так как направление поля, создаваемого систе- мой, всегда совпадает с положительным направлением нормали к площадке, очерчен- ной этой же системой.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: