Задача 4
На полый картонный цилиндр длиной lк = 50 см, диаметром D = 3 см навита в два ряда медная проволока диаметром D0 = l мм. Полученная таким образом катушка под- ключена к гальваническому элементу E = 1,4 В (рис. 105). Через
какое время τ после перевода ключа из положения 1 в положе- ние 1 сила тока в катушке уменьшится в 1000 раз? Какое коли- чество джоулевой теплоты выделится в катушке за это время? Чему равнялась магнитная энергия катушки до переключения? ρмеди = 0,017 Омм× мм2 .
Анализ. После перевода ключа в положение 2 катушка будет замкнута накоротко. Единственная электродвижущая сила в цепи – это ЭДС самоиндукции.
Это значит, что ток в катушке исчезнет не мгновенно, а будет постепенно умень- шаться до нуля. При этом на омическом сопротивлении будет выделяться джоулева те- плота. Количество джоулевой теплоты, которое выделится на сопротивлении за время прохождения тока после отключения источника, равняется магнитной энергии катушки до отключения источника. Необходимо отметить, что при включении источника номи-
нальное значение тока i = E |
установилось не сразу, а постепенно. Именно в это время |
||
0 |
R |
||
происходило накопление магнитной энергии катушки. |
|||
Решение. Применим к рассматриваемой цепи закон Ома |
|||
iR = E s , |
(1) |
||
где R – сопротивление катушки. Подставим в формулу (1) выражение для Es, тогда iR = -L dtdi
(здесь L – индуктивность катушки). Разделение переменных приведет к выражению
- |
R |
dt = di . |
(2) |
|
L |
||||
i |
В начальный момент времени ток в цели равнялся i0. Производя интегрирование равенства (2) в пределах от 0 до t по времени и от 0 до i0 по току, находим1:
1 Если студенты знают из лекций выражение i = i e− |
R |
||
t |
для тока размыкания, то |
||
L |
|||
0 |
|||
формулу (3) можно записать без вывода. |
|||
Тогда количество джоулевой теплоты, выделившееся на сопротивлении R за время τ,
равно
τ |
τ |
R |
|||||||
Q = òi2 Rdt = i02 Ròe− |
t dt . |
||||||||
L |
|||||||||
0 |
0 |
||||||||
Отсюда |
|||||||||
Q = |
i2 L æ |
- e |
− |
2Rτ |
ö |
(6) |
|||
0 |
ç1 |
L |
÷ . |
||||||
2 |
ç |
÷ |
|||||||
è |
ø |
||||||||
Начальная магнитная энергия катушки |
|||||||||
W = |
Li |
2 |
|||||||
0 . |
|||||||||
0 |
2 |
||||||||
Анализируя выражение (6), видим, что при τ → ∞ Q = W0. Так как значения индуктив- ности и омического сопротивления рассчитаны, можно найти начальную энергию
W0 = L2ER22 = 4,4 ×10−4 Дж .
При подсчете величины Q оказывается, что вычитаемое, стоящее в скобках, со- ставляет величину порядка 10-6. Это значит, что практически за время τ =6,2 · 10-3 с вся магнитная энергия катушки превратилась в джоулеву теплоту.
§ 4. МАГНЕТИКИ
Независимо от того, дано ли на лекциях электронное толкование магнитных свойств веществ или нет, гипотеза о молекулярных токах позволяет свести действие среды к действию совокупности элементарных витков (аналогично тому, как в электро- статике действие диэлектрика заменяется действием совокупности диполей). Поэтому в любом случае можно сказать, что магнитное поле B в среде будет складываться из поля B0 макротоков и поля B' микротоков, т. е.
B = B0 + B'. |
(1) |
Это положение будет справедливо всегда, независимо от характера поля и формы маг- нетика.
В некоторых частных случаях, например в случае однородного магнетика в одно- родном магнитном поле (тонкая тороидальная катушка со сплошным сердечником), можно показать, что индукция B' поля, созданного микротоками, однозначно определя- ется вектором J интенсивности намагничения, который представляет собой магнитный
момент единицы объема магнетика: J = |
åpm |
, т. е. |
|
DV |
|||
B'= μ0J . |
(2) |
||
В общем случае индукция результирующего поля будет определяться макротоками и микротоками. Поэтому закон полного тока в среде может быть записан следующим об- разом:
òBdl = μ0 (åI + åi).
L
Здесь åI – сумма макротоков, åi – сумма микротоков, сцепленных с контуром L.
Вычисление суммы микротоков в самом общем случае (произвольное поле, произ- вольное распределение сред) показывает, что
åi = òJdl .
L
Подставляя это выражение в закон полного тока, после несложных преобразований
получаем
æ |
B |
ö |
||
ç |
÷ |
(3) |
||
òç |
μ0 |
- J÷dl = åI . |
||
L è |
ø |
Выражение, стоящее под интегралом в скобках, называется напряженностью Н
магнитного поля и представляет собой вспомогательную характеристику магнитного поля. Итак,
H = |
B |
− J ; |
(4) |
μ0 |
|||
тогда |
|||
òHdl = åI . |
(5) |
||
L |
|||
Таким образом, выражение (4) есть определение вектора напряженности, выражение (5)
– закон полного тока для вектора H.
Выражения (5), (4) так же, как и выражение (1), справедливы всегда, независимо от характера поля и формы магнетика. Если индукция поля микротоков однозначно опре- деляется вектором J (например, тонкая тороидальная катушка со сплошным сердечни- ком), то индукция B0 поля макротоков будет однозначно связана с напряженностью H
поля соотношением
B0 = μ0H . |
(6) |
Если предположить, что вектор интенсивности намагничения |
|
J = κH , |
|
где κ – магнитная восприимчивость, то выражение (4) запишется в виде: |
|
B = μ0H + μ0J |
|
или |
|
B = μ0H(1+ κ ). |
|
Заменив выражение 1 + κ через μ, получим |
|
B = μ0μH . |
(7) |
В случае тонкой тороидальной катушки, когда |
|
B0 = μ0H , B' = μ0J = μ0κH , |
|
получим, что |
|
B = μB0 , |
(8) |
т. е. для указанного частного случая относительная магнитная проницаемость μ пока- зывает, во сколько раз поле в среде больше, чем в вакууме (при неизменных макрото- ках). Следует обязательно подчеркнуть, что формула (7), аналогично выражениям (1),
(4) и (5), справедлива всегда.