Материал: МЭИ(ТУ) Физика

В случае центральной (сферической) или осевой (цилиндрической) симметрии поля удобнее пользоваться сферическими или цилиндрическими координатами, в которых потенциал окажется зависящим только от одной координаты – радиуса-вектора r. Тогда

Знак «минус» во всех формулах (2) показывает, что в направлении вектора E по- тенциал всегда убывает.

В поле, созданном точечным зарядом Q, как следует из закона Кулона (105),

и потенциал точки такого поля, рассчитанный по формулам (1) (начало отсчета потен- циала в бесконечности),

В формулах (4) и (5) r – расстояние от заряда Q до рассматриваемой точки поля, ε0 = 8,85 · 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Согласно принципу суперпозиции для поля, создаваемого системой дискретных точечных зарядов,

где Ei и φi, соответственно, напряженность и потенциал данной точки поля созданного точечным зарядом Qi.

Для поля, созданного системой непрерывно распределенных зарядов (заряженное

Обозначение Q указывает, что берется определенный интеграл по всему заряженному телу, создающему поле; dE = dQ/4πε0r2, dφ = dQ/4πε0r, где dQ – заряд бесконечно мало- го элемента заряженного тела; r – расстояние от этого элемента до рассматриваемой точки.

Если заряд распределен по объему тела (что возможно только в случае, если заря- женное тело не является проводником), то dQ = ρdv, где ρ – объемная плотность заряда, dv – элементарный объем, заряд которого можно считать точечным. Если заряд распре- делен по поверхности тела, то dQ = σdS, где σ – поверхностная плотность заряда, где dS

– элементарная площадка, заряд которой можно считать точечным. В некоторых случа- ях (например, заряженная нить, заряженное тонкое кольцо и т. п.) удобно пользоваться линейной плотностью заряда τ, тогда dQ = τdl, где dl – элементарный отрезок, заряд ко- торого можно считать точечным.

Если система зарядов и создаваемое ими поле обладают определенной симметрией (плоской, сферической или осевой), напряженность поля проще (а в определенных слу- чаях необходимо) рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса для вакуума

где S – замкнутая поверхность специально выбранной формы, проведенная через точку,

в которой требуется найти напряженность; åQ – алгебраическая сумма зарядов, ох-

ваченных поверхностью интегрирования.

Силу, с которой поле действует на заряд q, внесенный в него, рассчитывают по

формуле

Работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 рассчи-

Задача 1.1. Два точечных заряда Q1 = + 4 · 10-8 Кл и Q2 = – 6 · 10-8 Кл находятся на расстоянии r0=10 см друг от друга. Найти: 1) положение точки (или точек), в которой напряженность поля равна нулю, и потенциал этой точки; 2) положение точки на пря- мой соединяющей заряды Q1 и Q2 и лежащей между ними, потенциал которой ранен нулю, и напряженность поля в этой точке; 3) имеются

Рис. 1.1.

ли другие точки поля, потенциал которых равен нулю?

Р е ш е н и е . Рассматривается поле двух точечных нарядов, разных по величине и знаку.

Если напряженность поля, создаваемого каждым из зарядов, соответственно, E1 и E2, то по принципу суперпозиции в любой точке результирующая напряженность поля

Это условие означает, что искомая точка A может лежать только на прямой, проходя- щей через заряды Q1 и Q2, то есть на оси x вне зарядов. Искомая точка не может нахо- диться на оси x между зарядами (точка B), так как E1 и E2 в этой точке направлены в одну сторону и E1 + E2 ≠ 0 (рис. 1.1). В любой другой точке векторы E1 и E2 направле- ны под углом друг к другу и E1 + E2 ≠ 0. Из (11) следует, что напряженности поля, за- данного каждым из зарядов в искомой точке A равны по модулю:

Для любой точки, лежащей на оси x (начало координат в точке, где находится заряд

причем написанные выражения справедливы для любых значений x. Подставляя эти выражения в (12), получим

Вид последнего выражения показывает, что здесь правомерна подстановка значе- ний зарядов и расстояний в любой системе единиц измерений. Подстановка зарядов, выраженных в кулонах, и r0 в сантиметрах после приведения к общему знаменателю дает следующее квадратное уравнение относительно x:

x 2 + 40x − 200 = 0 .

Отсюда:

x1 = – 44,5 см; x2 = + 4,5 см.

Первый корень уравнения дает точку A, лежащую на расстоянии 44,5 см слева от заряда Q1. Второй корень дает точку, лежащую между зарядами Q1 и Q2. Однако в этой точке (например, точка B) векторы E1 и E2 направлены в одну сторону, следовательно,

E1 + E2 ≠ 0, то есть второй корень нужно отбросить. Таким образом, существует только одна точка поля точка A, удовлетворяющая условию первого вопроса задачи.

Потенциал этой точки может быть также рассчитан методом суперпозиции

ваемой точки r1 = |x1|, расстояние от заряда Q2 до рассматриваемой точки r2 = r0 + |x1|.

Тогда

Подстановка числовых значений (здесь расстояние должно быть выражено в мет- рах) дает:

ϕ(x1 ) = −1800 В.

Положение точки, в которой потенциал результирующего поля равен нулю (второй вопрос задачи), может быть найдено в соответствии с принципом суперпозиции. Из ус- ловия:

Так как по условию задачи искомая точка должна лежать на оси между зарядами Q1 и Q2, расстояние от первого заряда до этой точки r1 = x3, расстояние от второго заряда

Решение этого уравнения после подстановки числовых значений дает: x3 = 4 см.

n

Напряженность поля в точке x3 может быть найдена по формуле E = åEi . В этой

i=1

точке (как и во всех точках на оси x между Q1 и Q2) векторы E1 и E2 направлены по оси x. Следовательно, вектор напряженности результирующего поля направлен также по оси x. Напряженность результирующего поля в рассматриваемой точке:

Подстановка числовых значений дает

E (x 3 ) = 7,5 ×104 Вм .

Задача 1.2. Два точечных заряда Q1 = + 2 · l0-10 Кл, Q2 = – 2 · l0-10 Кл находятся на расстоянии l = 2 см друг от друга. Найти работу поля по перемещению заряда q = – 1 · l0-11 Кл из точки B в точку C и из точки B в точку D. Точки расположены, как показано на рис. 1.2.

Р е ш е н и е . Рассматривается перемещение точечного заряда q в поле, создаваемом точечными зарядами Q1 и Q2.

Работа поля по перемещению заряда q для двух заданных перемещений равна:

Таким образом, задача сводится к нахождению разности потен- циалов между указанными точками.

Использование интегральной формулы ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edr для на-

1

хождения разности потенциалов предполагает знание выражения Рис. 1.2. напряженности поля как функции координат. Поэтому в данном

случае целесообразнее искать отдельно потенциал результирующего поля в каждой из точек B, C, D методом суперпозиции.

В точке B на расстоянии от зарядов r1 = r2 = l/2 потенциал равен

r2 = l2 + l2 = l 2 . Потенциал этой точки:

Подставляя найденные значения потенциалов в выражение (14), получим:

A1 = 0; A2 = 2,5 · 10-10 Дж.

Работа A2 поля оказалась положительной, так как хотя φB < φD, но переносимый за- ряд q<0.