Задача 4.2. По соленоиду течет ток 2 А. Магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4·10-6Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет 800 витков.
Решение. Индуктивность есть величина, численно равная собственному потоку индукции Ψ, сцепленному со всеми витками соленоида (потокосцепление), когда по нему идет ток, равный единице силы тока:
L = YI .
Заменив здесь потокосцепление Ψ его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Ψ=ФN), получим
L = |
FN |
. |
(1) |
|||
I |
||||||
Подставим числовые значения и произведем вычисления: |
||||||
L = |
4 ×10−6 |
×800 |
=1,6 ×10−3 |
Гн. |
||
2 |
||||||
Задача 4.3. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Решение. Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством
dq = Idt. |
(1) |
В формулу (1) вместо силы тока можно подставить значение ЭДС индукции εинд и сопротивление соленоида R, т. е.
I = εRинд .
Подставив это выражение тока в формулу (1), найдем dq = εRинд dt.
Но εинд связана с изменением потокосцепления Ψ в единицу времени по закону Фарадея—Максвелла:
Для определения заряда, протекшего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами:
L = μ |
N |
2 |
S = |
μ πD2 N 2 |
; |
|
0 |
||||||
0 l |
||||||
1 |
4l |
|||||
1 |
1 |
|||||
R = ρ sl = π4dρ2l ,
где μ0-магнитная постоянная; N—число витков; l1-длина соленоида; S1-сечение соленоида; ρ-удельное сопротивление провода; l-длина провода; S-сечение провода; d-диаметр провода; D-диаметр соленоида.
Подставив найденные выражения L и R в формулу (4), получим
q = I |
L |
= |
μ0 N 2πd 2 |
πD2I |
. |
(5) |
||||||||||
0 R |
||||||||||||||||
4l 4ρl |
0 |
|||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||
Заметим, что длина провода l может быть выражена через диаметр D соленоида |
||||||||||||||||
l=4DN, тогда формуле (5) можно придать вид |
||||||||||||||||
q = μ0 N 2πd 2πD2 |
I0 = |
πμ0 NDd 2 |
I0. |
|||||||||||||
16l1ρπDN |
16ρl1 |
|||||||||||||||
Но l1 N есть диаметр провода, так ка'к витки плотно прилегают друг к другу. |
||||||||||||||||
Следовательно, |
||||||||||||||||
q = |
μ |
πd 2D |
I |
0 = |
πμ |
Dd |
I0. |
|||||||||
0 |
0 |
|||||||||||||||
16ρ |
||||||||||||||||
16ρd |
||||||||||||||||
Подставляем значения в формулу (6) и вычисляем |
||||||||||||||||
q = |
3,14 × 4 ×3,14 ×10−7 |
×5 ×10−2 ×1 = 3,63×10−4 Кл. |
||||||||||||||
16 ×1,7 ×10−8 |
2 ×10−4 |
|||||||||||||||
5. Энергия магнитного поля. Магнетики
1. Энергия W магнитного поля, локализованного в соленоиде индуктивностью L
W = LI22 ,
где I-сила тока в соленоиде.
2. Объемная плотность ω энергии магнитного поля (энергия, заключенная в единице объема) определяется
ω = B2 . 2μμ0
Энергия .магнитного поля, локализованного в объеме поля V, равна
W = òωdV.
V
3.Магнитная индукция В связана с напряженностью H магнитного поля соотношением
B = μμ0H
где μ-относительная магнитная проницаемость среды.
4. Напряженность магнитного поля H связана с количественной характеристикой намагниченного состояния вещества - вектором намагниченности J
r |
B |
r |
r |
1 |
n |
r |
|||
H = |
− J |
, |
J |
= |
å pmi , |
||||
μ0 |
V |
||||||||
i=1 |
|||||||||
где Pm— магнитный момент i-го атома из общего числа п атомов, содержащихся в объеме V.
Задача 5.1. На стержень из немагнитного материала длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится
20 витков. Определить энергию магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой
W = |
1 LI 2. |
(1) |
2 |
Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа
витков на единицу длины и от объема сердечника: |
|||||
L = μ0n2V , |
(2) |
||||
где μ0-магнитная постоянная. |
|||||
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L, получим |
|||||
1 |
2 |
2 |
|||
W = |
2 μ0n VI |
. |
(3) |
||
Выразим объем сердечника через его длину l и сечение S |
|||||
W = 1 |
μ |
n2 I 2Sl. |
(4) |
||
2 |
0 |
||||
Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления
W = 12 3,14 ×10−7 × (2 ×103 )2 (0,5)2 2 ×10−4 × 0,5 =1,26 ×10−4 Дж.
Задача 5.2. По цилиндрическому медному проводника радиуса 2 см течет ток 100 А Считая проводник очень длинным, найти энергию магнитного поля сосредоточенного внутри участка проводника длины 1 м.
Решение. Симметричность поля позволяет применить для расчета индукции магнитного поля закон полного тока
òBdl = μ0 å Ii . |
(1) |
l |
Относительная магнитная проницаемость меди постоянна и практически равна единице. Энергия магнитного поля в объеме V = πr02l0
W = òωdV |
(2) |
гдеω = |
B2 |
- плотность энергии магнитного поля. |
|
2μ0 |
|||
Выберем контур интегрирования l (рис 13) в форме окружности, совпадающей с одной из линий индукции, радиус которой r . Тогда
òBdl = òBdl cos(dl B)= B2πr
l l
при угле между векторами dl и B равном нулю, когда направление обхода контура совпадает с направлением линии индукции
Если плотность тока постоянна по поперечному сечению проводника, то сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,
å I |
= |
I |
πr2. |
(4) |
|||
i |
πr2 |
||||||
0 |
|||||||
Подставим выражения (3) и (4) в (1)
B2πr = μ0 Ir2 ,
r02
откуда
B = |
μ0 Ir |
. |
(5) |
2πr2 |
|||
0 |
|||
Элементарный объем dV в выражении (2) должен быть таким, чтобы в нем плотность энергии, а, следовательно, и индукция магнитного поля оставались постоянными. Этому условию удовлетворяет тонкий цилиндрический слой, объем которого dV=2πr0ldr. Тогда равенство (1) с учетом (5) имеет вид
W = òωdv =
V
Энергия поля, отнесенная к длине,
W μ0I 2 |
r |
3 |
μ0 I 2 |
−4 |
||||
l |
= |
4πr4 |
òr |
dr = |
16π 2,5 ×10 |
Дж. |
||
0 |
0 |
00 |
||||||