Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Решение. Выберем направление токов так, как показано на рис. 83. Применяя II за- кон Кирхгофа к контурам AE3RBE1A и AE3RBE2A и I закон к одному из узлов, получаем следующую систему уравнений1:

Совместное решение этих уравнений дает результат:

Знак минус перед током i1 означает, что выбранное направле- ние его ошибочно, в действительности ток i1 течет от A к B.

Разность потенциалов между узлами можно найти, применяя обобщенный закон Ома к любому участку.

На участке BE1A:

i1r = ϕB -ϕA -E1 , ϕB -ϕA = E1 + i1r = 2,36 В.

На участке BRE3A:

- I(R + r)= ϕB -ϕA -E3 , ϕB -ϕA = E3 - I(R + r)= 2,36 В.

До вычисления разности потенциалов между узлами только из направлений токов можно предсказать, что искомая разность потенциалов должна быть больше, чем E2 (ток i2 идет от положительного полюса элемента к отрицательному, следовательно, стороннее поле внутри второго элемента слабее кулоновского), и меньше, чем E1 (ток i1 идет от "–" к "+" элемента, следовательно, стороннее поле внутри первого элемента сильнее кулоновского).

Количество джоулевой теплоты, выделяющееся за 1 с во всей цепи,

Q = I 2 (R + r)+ i12r + i22r = 0,31Дж .

Работа, совершаемая первым и третьим элементами, положительна и соответствен- но равна:

A1 = -i1E1 =1,70 Дж ; A3 = -i2E 2 = 0,39 Дж .

Работа, совершаемая вторым элементом, отрицательна и равна

A2 = -i2E 2 = -1,78 Дж .

1 При использовании II закона Кирхгофа следует рассматривать контуры, содер- жащие хотя бы один участок цепи, не входящий в другие контуры, поэтому контур AE1BE2A в решении задачи не рассматривается.

Легко видеть, что суммарная работа, совершаемая первым и третьим элементами, равна сумме количества теплоты, выделяющегося во всей цепи, и работы, совершаемой против стороннего поля второго элемента, т. е.

A1 + A3 = −A2 + Q .

§ 2. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Задачи настоящего параграфа охватывают вопросы классической теории электро- проводности, термоэлектронной эмиссии и контактных явлений. Главная цель занятий

– закрепить в памяти учащихся основные формулы этой теории, показать на примерах порядок величин, с которыми приходится иметь дело в электронной теории металлов. Если на лекциях вводились элементы зонной теории и статистики Ферми, то следует каждый раз качественно указывать, чем будут отличаться полученные результаты при применении квантовой теории металлов.

Задача 1

По медной проволоке с поперечным сечением S = 1 мм2 идет ток i = 1 А, при этом температура проволоки t = 57°С. Считая, что электронный газ подчиняется распределе- нию Максвелла, найти величины средних тепловой и направленной скоростей свобод- ных электронов.

Анализ и решение. Если электронный газ подчиняется распределению Максвелла, то средняя тепловая скорость vT может быть рассчитана по формуле

Здесь j – плотность тока, текущего по проволоке; n0 – концентрация свободных элек- тронов; e = 1,6 · 10-19 Кл – заряд электрона.

Из условия задачи находим плотность тока:

j = Si =100 Асм2 .

Концентрацию электронов можно оценить из следующих соображении: плотность меди D ≈ 9 г/см3, ее молекулярный вес μ ≈ 63 г/моль; следовательно, в 1 см3 содержится при-

мерно 1/7 грамм-моля. Медь – элемент первой группы, обладает одним валентным электроном, поэтому концентрация свободных электронов

n0 » N70 » 1023 см−3 ,

где N0 – число Авогадро.

Подставим полученные значения j, e и n0 в формулу (2) и произведем вычисления: vнапр = enj0 = 0,6 ×10−4 мс .

Полученные результаты наглядно показывают, что направленная скорость пренеб- режимо мала по сравнению со средней тепловой. В действительности, электронный газ подчиняется статистике Ферми. Это значит, что энергия свободных электронов дис- кретна, на каждом энергетическом уровне может находиться одновременно только два электрона и даже при T = 0 К электроны обладают энергией, причем максимальная энергия, так называемая энергия Ферми (εФ), имеет величину порядка 10 эВ. Поэтому средняя тепловая скорость, рассчитанная по Ферми, окажется больше вычисленной

Задача 2

Найти коэффициент теплопроводности серебра при T = 300 К, если при этой тем- пературе его удельное сопротивление ρ = 1,7 · 10-8 Ом · м.

Анализ и решение. Согласно закону Видемана-Франца, отношение коэффициента теплопроводности K к электропроводности σ прямо пропорционально абсолютной тем- пературе, т. е.

Здесь a – постоянная, одинаковая для всех металлов.

Если рассматривать свободные электроны металла как идеальный газ, то электро-

где l – средняя длина свободного пробега электронов, vT – средняя тепловая скорость электронов, n0 – концентрация электронов, e и me – соответственно заряд и масса элек- трона.

Коэффициент теплопроводности, как и для любого идеального газа, может быть

рассчитан по формуле

K = 13 lvT men0cV .

Здесь cV – "удельная" теплоемкость электронного газа. Так как его частицы обладают тремя степенями свободы, то

Приравнивая квадрат средней тепловой скорости среднему квадрату скоростей и заме-

Если коэффициент теплопроводности выразить в СИ в Дж/(град · м · с), а электро- проводность – в Ом-1 · м-1, то размерность постоянной a будет

При расчете по формуле (6) постоянную Больцмана следует брать в дж/град, заряд электрона e – в кулонах, тогда

Подставляя полученное значение a в выражение (1) и учитывая, чтоσ = ρ1 , где удель-

ное сопротивление серебра ρ = 1,6 · 10-8 Ом · м, находим

Как было показано при выводе выражения (6), отношение σK прямо пропорционально

абсолютной температуре вследствие того, что согласно классической теории cV ~ const ; vT2 ~ T .

С точки зрения теории Ферми

cV ~ T ; vT ~ const ,

поэтому закон Видемана-Франца остается справедливым.

Задача 3

Найти силу тока насыщения в электронной лампе с вольфрамовым катодом, если длина нити накала l = 3 см, диаметр d = 0,1 мм, температура нити T = 2700 К. Для вольфрама работа выхода Aвых = 4,5 эВ, постоянная B = 60 А/(см2 · град2).

Анализ и решение. Плотность j тока насыщения при термоэлектронной эмиссии вычисляется по формуле Дешмена-Ричардсона:

где S – площадь поверхности катода. Предполагая, что катод имеет форму прямой нити длиной l и что эмиссия происходит только с боковой поверхности, получаем

Расчет дает

i ≈ 0,1А .

Надо обратить внимание студентов на то, что изменение плотности тока насыщения [см. формулу (1)] с изменением температуры практически определяется только экспо- нентой, изменение степенного сомножителя можно не учитывать. Действительно, при

T = 2700 К

T 2 = 7,3×106 , e− Aвых kT » 5,5 ×10−9 ;

при уменьшении температуры, например в 10 раз, т. е, при T = 270 К,

T 2 = 7,3×104 , e− Aвых kT » 10−83 .

Как видно, уменьшение степенного сомножителя на два порядка практически не сказы- вается на значении результата.