ωe = |
E2 |
. |
(2) |
|
8π |
||||
Таким образом, решение задачи сводится, прежде всего, к нахождению напряженности поля, созданного заданной конфигурацией заряда.
При разделении рассматриваемого пространственного заряда на два равных "ша- ра", заряженных по объему с неизменной объемной плотностью ρ и бесконечно уда- ленных друг от друга, силы поля будут совершать положительную работу, поэтому энергия поля в конечном состоянии будет меньше, чем до разделения.
После разделения пространственного заряда на два энергия находится как сумма энергий полей, созданных двумя пространственными зарядами в форме шара. Так как в условиях задачи оговорено, что пространственные заряды после разделения бесконечно удалены друг от друга, то можно пренебречь их взаимной энергией.
Решение. Форма пространственного заряда позволяет предположить, что как внут- ри самого заряда (r1 ≤ R), так и вне его (r2 ≥ R) силовые линии будут направлены по ра- диусам. Поэтому поле может быть легко найдено с помощью теоремы Гаусса:
òEdS = 4π åq . |
(3) |
S |
Вспомогательные поверхности следует выбрать в форме сфер, с радиусами r1 и r2, концентричных с пространственным зарядом (рис. 77). В обоих случаях при r ≤ R и при r ≥ R условия коллинеарности векторов E и dS и постоянства векто- ра E по модулю во всех точках вспомогательной гауссовой поверх-
ности позволяют левую часть равенства (3) привести к виду
òEdS = E × 4πri2 ,
Рис. 77.
Si
где ri – модуль радиуса-вектора текущей точки.
При r ≤ R, когда вспомогательная поверхность лежит внутри пространственного заряда,
åq = ρ × |
4 |
πri |
3 . |
(5) |
3 |
Здесь ri – по-прежнему радиус текущей точки; ρ – объемная плотность заряда, постоян- ная по условию.
При r ≥ R, когда вспомогательная поверхность охватывает весь пространственный заряд,
åq = Qi3 . |
(6) |
Учитывая выражения (4), (5) и (6), из равенств (3), (2) найдем значения напряжен- ности поля и плотности энергии:
при r ≤ R
E = |
4πρr |
, |
||
3 |
||||
ωe1 = |
2πρr2 |
; |
(7) |
|
9 |
||||
при r ≥ R
E = rQ2 ,
ω |
e2 |
= |
Q2 |
. |
(7а) |
|
8πr4 |
||||||
Как и следовало ожидать, в обоих случаях плотность энергии зависит только от рас- стояния r от центра пространственного заряда до рассматриваемой точки поля. Поэто- му элементарный объем dV следует выбирать в форме тонкого сферического слоя тол- щиной dr. Тогда
dV = 4πr2dr . |
(8) |
Чтобы найти полную энергию электрического поля во всем пространстве, интеграл в формуле (1) следует разбить на два интеграла в пределах: от 0 до R и от R до ∞:
W = òR ωe1 4πr2dr + ∞òωe2 4πr2dr ,
0 |
R |
так как при r = R меняется аналитическое выражение плотности энергии. Подставляя сюда уравнения (7) и (7а) и производя интегрирование, получаем
W = |
8π 2 ρ2 R5 |
+ |
Q2 . |
(9) |
45 |
2R |
Объемную плотность ρ пространственного заряда можно выразить по формуле
ρ= 4 Q 3 . 3πR
Подставляя это выражение в первое слагаемое формулы (9), будем иметь окончатель- ный ответ:
W = |
3Q2 . |
(10) |
5R |
После разделения заряда на два равных конечная энергия системы будет
ГЛАВА IV. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
§ 1. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Цель занятия – научить студентов пользоваться обобщенным законом Ома, рассчи- тывать простейшие разветвленные цепи. Применяя обобщенный закон Ома:
iR = ϕ1 −ϕ2 + E ,
следует указать на принципиальное различие между напряжением, разностью потен- циалов и электродвижущей силой. Под разностью потенциалов понимают величину, численно равную удельной работе кулоновских сил и, следовательно, не зависящую от пути интегрирования, а однозначно определяемую начальной и конечной точками уча- стка цепи.
Электродвижущая сила – это скалярная характеристика стороннего поля, численно равная удельной работе сил стороннего поля. В стороннем электрическом поле работа по перенесению заряда зависит не только от начальной и конечной точек участка цепи, но и от пути интегрирования.
Удельную работу результирующего поля – кулоновского и стороннего называют напряжением. Согласно этому определению напряжение должно зависеть от пути ин- тегрирования; это значит, что в параллельных ветвях, содержащих источники тока, на- пряжения, каждое из которых равно произведению iR, различны.
Разность потенциалов на зажимах разомкнутого источника численно равняется его электродвижущей силе. Внутри такого источника всегда существуют и стороннее, и кулоновское поля, направленные обязательно навстречу друг другу.
Вольтметр (токовый), включенный в цепь, фактически показывает напряжение на самом себе, равное разности потенциалов между теми точками, к которым он подклю- чен.
Для расчета разветвленных цепей используются законы Кирхгофа1.
При решении задач с помощью законов Кирхгофа и обобщенного закона Ома же- лательно придерживаться следующего порядка:
1 Если изучение этого раздела курса проходят параллельно с изучением электро- техники, то можно пользоваться и другими методами, излагаемыми в курсе электро- техники.
1)обозначить токи на всех участках цепи; участки, не разделенные разветвлением (узлом), обтекаются равными токами;
2)выбрав направление обхода, составить уравнения на основании II закона Кирх- гофа и обобщенного закона Ома, соблюдая правило знаков: произведение iR берется со знаком плюс, если обозначенное направление тока совпадает с направлением обхода участка; электродвижущая сила E берется со знаком плюс, если направление обхода участка совпадает с направлением стороннего поля: от отрицательного полюса элемен- та к положительному;
3)составить уравнения на основании I закона Кирхгофа.
На занятии, посвященном этой теме, желательно сначала рассмотреть качествен- ные примеры задачи № 1, следя за тем, чтобы все они были соответствующим образом записаны студентами. Анализ этих примеров лучше проводить, не пользуясь никакими формулами.
Задача 1
На рис. 78 приведены участки цепи, содержащие источник. Найти соотношения между электродвижущей силой каждого из источников и разностью потенциалов меж- ду крайними точками соответствующего участка.
Анализ и решение. 1. На участке цепи 1-2 (рис. 78, а) ток равен нулю; стороннее поле источника скомпенсировано кулоновским полем, направленным навстречу, по- этому E = φ2 – φ1.
Напряжение на участке равно нулю.
2. Направление тока, указанное на схеме (рис. 78, б), свиде- тельствует о том, что кулоновское поле, направленное навстре- чу стороннему, оказалось сильнее, поэтому ток (движение по- ложительных зарядов) течет против стороннего поля (вектор напряженности стороннего поля внутри источника всегда на- правлен от отрицательного полюса к положительному).
Следовательно,
ϕ2 − ϕ1 > E . |
Рис. 78. |
Такое соотношение может иметь место только в том случае, если в остальной части цепи существует хотя бы один источник, включенный навстре- чу данному и обладающий большей электродвижущей силой.