Материал: МЭИ(ТУ) Физика

2-й способ. Постоянство заряда на обкладках конденсатора обусловливает постоян- ство напряженности поля, а следовательно, и плотности энергии.

Но так как внутри внесенной металлической пластины поля пет, то убыль энергии конденсатора равна энергии электрического поля в объеме металлической пластинки:

DW = - ε02E2 Sl' .

Здесь E – напряженность поля между обкладками.

Напряженность поля E = Ul0 . Окончательно получим

Задача 4

Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью S = 200 см2 каждая, расположенных на расстоянии l1 = 0,3 см друг от друга. Какую работу надо со- вершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками до l1 = 0,5 см? Задачу решить для двух случаев: 1) конденсатор заряжают до U0 = 600 В и отключают от батареи; 2) конденсатор остается все время соединенным с батареей, поддерживающей постоян- ную разность потенциалов U0 = 600 В.

Анализ. Изменение энергии конденсатора, отключенного от батареи, однозначно определяется работой приложенных внешних сил. При раздвижении обкладок внешняя сила действует против силы взаимодействия пластин, т, е. совершает положительную работу, соответственно с этим увеличивается энергия конденсатора. Когда конденсатор соединен с батареей, внешняя сила по-прежнему действует против сил взаимодействия, т. е. опять совершает положительную работу, однако в этом случае изменение энергии конденсатора определяется не только работой внешних сил, но и работой стороннего поля источника (так называемой работой батареи). Разность потенциалов между об- кладками при увеличении расстояния между ними может оставаться постоянной, толь- ко если уменьшится заряд конденсатора, т. е. если конденсатор разрядится через бата- рею. При этом совершается работа против стороннего поля, т. е. работа батареи отри- цательна.

Существенно, что раздвижение обкладок должно происходить бесконечно медлен- но, т. е. приложенная сила практически будет все время равна силе взаимодействия ме- жду пластинами. Во втором случае процесс раздвижения сопровождается непрерывным уменьшением заряда на обкладках конденсатора, это значит, что сила взаимодействия, а следовательно, и приложенная сила, будет уменьшаться. Поэтому работа внешних сил будет меньше, чем в первом случае.

Решение. Искомую работу можно рассчитать либо непосредственно как работу приложенной силы, либо из уравнения энергетического баланса.

Рассмотрим оба способа.

1-й способ. При бесконечно малом перемещении dl одной из пластин элементарная

работа

Расстояние l между пластинами меняется от l1 до l2.

Если конденсатор отключен от батареи, то напряжение U на его обкладках непре- рывно меняется, но заряд, а следовательно, и напряженность поля между обкладками остаются неизменными. Это значит, что отношение

Тогда полная работа внешних сил

2-й способ. Согласно уравнению энергетического баланса изменение энергии кон-

денсатора

DWк = A'+Aбат ,

откуда работа внешних сил

Если конденсатор отключен от батареи, то Aбат = 0, и изменение энергии конденса-

тора

жения пластин, Q = C1U0 = ε0SU0 – заряд на обкладках. l1

Подставляя эти значения C1, C2, Q в формулу (3), получаем

Если конденсатор соединен с батареей, то работа батареи

Aбат = DQ ×U0 ;

здесь Q – изменение заряда на обкладках конденсатора, равное

Изменение энергии конденсатора

Задача 5

Воздушный конденсатор емкостью C0 = 0,2 пФ заряжен до разности потенциалов U0 = 600 В. Найти изменение энергии конденсатора и работу, совершаемую полем, при

заполнении конденсатора жидким диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2. Расчет произвести в двух случаях: 1) конденсатор отключен от батареи; 2) конденсатор соединен с батареей.

Анализ. Изменение энергии конденсатора согласно уравнению энергетического баланса определяется работой внешних сил, т. е. работой поля, взятой с обратным зна- ком, и работой батареи – работой стороннего поля.

При введении в поле конденсатора диэлектрика на его поверхности вследствие по- ляризации образуются связанные заряды, и диэлектрик будет втягиваться в поле кон- денсатора. Следовательно, работа A сил поля будет обязательно положительной.

В первом случае, когда конденсатор отключен от батареи, при совершении силами поля положительной работы энергия конденсатора будет уменьшаться, т. е, изменение

энергии

Во втором случае надо учитывать, что связанные заряды на поверхности диэлек- трика, введенного между обкладками конденсатора, будут уменьшать напряженность результирующего поля, и разность потенциалов между обкладками конденсатора оста- нется постоянной только за счет добавочных зарядов, посылаемых батареей.

Батарея будет совершать положительную работу, за счет чего будет возрастать энергия конденсатора. В этом случае изменение энергии

Решение. 1-й случай. Энергию конденсатора удобно рассчитать по формуле

W= Q2 , 2C

где Q – заряд конденсатора, остающийся постоянным; C – емкость конденсатора.

При заполнении конденсатора диэлектриком емкость его возрастает в ε раз до зна- чения C1. Соответственно с этим

Выразим заряд конденсатора через начальные значения емкости и разности потен- циалов:

Задача 6

Рассчитать энергию поля, созданного пространственным зарядом Q, равномерно распределенным в форме шара радиуса R в вакууме. Найти изменение энергии при раз- делении заряда на два равных шара, бесконечно удаленных друг от друга.

Анализ (СГСЭ). В случае неоднородного поля энергия электрического поля в не- котором объеме V может быть найдена по формуле

где ωe – плотность энергии.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что dV – элементарный объем, ко- торый должен быть выбран так, чтобы в его пределах плотность энергии оставалась по- стоянной.

Плотность энергии в вакууме