3.Если неизвестна остальная часть цепи, то по схеме (рис. 78, в) нельзя даже уста- новить, в какой точке (1 или 2) потенциал больше, т. е. нельзя предсказать направление кулоновского поля1. Если предположить, что в остальной части цепи нет источников, то потенциал будет больше во 2-й точке (во внешней цепи ток идет от большего потен- циала к меньшему), т. е. кулоновское поле по-прежнему будет направлено навстречу стороннему. Направление тока совпадает с направлением вектора напряженности сто- роннего поля; следовательно, это последнее сильнее кулоновского, и тогда
ϕ2 -ϕ1 < E .
4.Судя по направлению тока I2 (рис. 78, г), потенциал точки 2 больше, чем точки 1, причем стороннее поле второго источника слабее кулоновского.
Направление тока I2 говорит о том, что внутри первого источника кулоновское по- ле слабее стороннего, следовательно,
E 2 < ϕ2 -ϕ1 < E1 .
Напряжения на участках цепи различны, т. е.
I1r1 ¹ I2r2 .
Задача 2
К участку цепи, изображенному на рис. 79, подходит ток I = 1 А. Сопротивления r1 = r2 = 10 Ом; r3 = 3 ом. ЭДС источника E = 20 В; внутренним сопротивлением его
Рис. 79.
можно пренебречь. Найти силы токов в разветвлении и разность потенциалов между узлами A и B.
Анализ и решение. Для нахождения сил токов в параллельных участках цепи можно применить законы Кирхгофа. Предположим, что токи имеют направления, пока- занные на рис. 79. Применяя II закон Кирхгофа к контуру Ar1Er2Br3A и I закон к одному из узлов (например, B), получаем
1 Это положение надо особенно подчеркнуть, чтобы было ясно, что разность по- тенциалов между двумя любыми точками определяется параметрами всей цепи.
i1(r1 |
+ r2 )- i2r3 = E ,ü |
(1) |
|
i1 + i2 = I. |
ý . |
||
þ |
|||
Подставляя сюда числовые значения величин и решая совместно уравнения (1), нахо-
дим
i1 = 1А , i2 = 0 .
Находя разность потенциалов, надо рассмотреть участки Ar3B или Ar1Er2B и запи- сать соответственно:
i2r3 = ϕA -ϕB = 0 ,
i1(r1 + r2 ) = ϕA -ϕB + E ,
откуда
ϕA -ϕB = i1(r1 + r2 )-E = 0 .
Результаты расчета кажутся на первый взгляд парадоксальными и их необходимо тща- тельно обсудить.
На сопротивлении r1 потенциал падает на величину, равную произведению i1r1 = 10 В. При переходе через источник за счет стороннего поля происходит скачок потенциала вверх на величину E = 20 В; на сопротивле- нии r2 потенциал вновь падает на величину i2r2 = 10 В. В итоге потенциалы точек A и B оказываются одинаковы- ми. Рассуждения эти станут более наглядными, если по- строить график зависимости потенциала от сопротивле-
ния для участка Ar1Er2B (рис. 80).
Нижняя ветвь цепи представляет собой проводник, соединяющий две точки, находящиеся при одинаковом потенциале; ток через этот про- водник идти не будет. Очевидно, что при замене сопротивления r3 любым другим в це- пи ничего не изменится.
Изменение сопротивлений верхнего участка изменит и значения токов в ветвях, и разность потенциалов между узлами. Если суммарное сопротивление верхней ветви будет больше 20 Ом, то суммарное падение потенциала на этих сопротивлениях воз- растет и окажется больше, чем скачок потенциала, даваемый источником. Потенциал точки B станет меньше, чем потенциал точки A. Через сопротивление r3 пойдет ток в направлении, указанном на схеме.
Если сделать сопротивление r1 + r2 < 20 Ом, то потенциал точки B будет меньше, чем потенциал точки A; через сопротивление r3 пойдет ток обратного направления (при решении величина i2 получится отрицательной).
Задача 3
Два элемента с электродвижущими силами E1 = 1,8 В и E2 = 1,4 В соединены по- следовательно и замкнуты на некоторое внешнее сопротивление R. Вольтметр с боль-
шим сопротивлением, подключенный к клеммам |
||
второго элемента, показывает разность потенциа- |
||
лов U1 = 0,6 В, причем "плюс" вольтметра под- |
||
ключен к положительному полюсу элемента (рис. |
||
81). |
Рис. 81. |
|
Найти показания вольтметра при переключе- |
||
нии полюсов второго элемента. |
Анализ. Показания вольтметра, как известно, равны разности потенциалов между точками присоединения вольтметра. Оговорка, сделанная в условии задачи, показыва- ет, что в первом случае (рис. 81, а) потенциал точки 2 больше, чем точки 1. Разность потенциалов φ2 – φ1 будет меньше, чем E2, на величину, равную произведению i1r2 (здесь i1 – сила тока, r2 – внутреннее сопротивление второго элемента). При переклю- чении полюсов второго элемента направление тока в цепи не изменится, так как E1 > E2, но теперь ток через второй элемент будет идти от "+" к "–". Это значит, что в схеме (рис. 81, б) потенциал точки 1 будет больше, чем точки 2, и кулоновское поле бу- дет сильнее стороннего, т. е. разность потенциалов φ1 – φ2 будет больше, чем E2. Сле- довательно, при переключении полюсов второго элемента придется переключить и вольтметр, и показания V2 будут больше величины E2. Разность между показаниями вольтметра и электродвижущей силы элемента будет равна произведению i2r2 (здесь i2
– сила тока во второй схеме). Так как в этом случае элементы включены навстречу друг другу, i2 < i1 и разность между показаниями вольтметра и электродвижущей силой эле- мента будет меньше, чем в первом случае.
Решение. Применим обобщенный закон Ома к участку 1E22 в обеих схемах: |
||||||
i r |
= ϕ -ϕ |
+ E |
,ü |
(1) |
||
1 2 |
1 |
2 |
2 |
ý . |
||
i2r2 = ϕ1 -ϕ2 -E 2.þ |
||||||
Согласно сказанному выше в первом случае
ϕ1 -ϕ2 = -V1 ,
во втором случае |
|
ϕ1 −ϕ2 = V2 . |
(2) |
Произведя соответствующую подстановку и беря отношение уравнений (1), получаем
i1 |
= −V1 + E 2 . |
(3) |
|||
i |
|||||
V |
−E |
2 |
|||
2 |
2 |
||||
Отношение токов найдем из закона Ома для замкнутой цепи: |
|||||
на схеме а |
|||||
i1åR = E1 + E 2 , |
|||||
на схеме б |
|||||
i2 åR = E1 −E 2 . |
(4) |
||||
Здесь åR – суммарное сопротивление всей цепи, одинаковое в обеих схемах. Разде-
лив уравнения (4) одно на другое, найдем
i1 |
= E |
1 |
+ E 2 . |
(5) |
||
i |
||||||
E |
1 |
−E |
2 |
|||
2 |
||||||
Подставив равенство (5) в соотношение (3) и произведя расчет, найдем
V2 = 1,5 В .
Задача 4
Два элемента с электродвижущими силами E1 = 3,0 В, E2 = 2,0 В и с внутренними сопротивлениями r = 0,5 Ом каждый соединены параллельно и замкнуты на некоторое внешнее сопротивление R. Найти внешнее сопротивление и силу тока во всех участках цепи, если показания вольтметра V, подключенного к узлам, равны: 1) 1,8 В; 2) 2,0 В; 3) 2,2 В.
Анализ. Независимо от значения внешнего сопротивления ток по нему может идти только от точки B к точке A; следовательно, φB > φA (рис. 82) и показания вольтметра
будут V = φB – φA. |
|
В первом случае φB – φA < E2, т. е. на участке AE2B куло- |
|
новское поле слабее стороннего. Это значит, что ток через вто- |
|
рой элемент пойдет от отрицательного полюса к положитель- |
|
ному в направлении, показанном на схеме. Такое направление |
|
Рис. 82. |
примем за положительное (i2 > 0). Во втором случае φB – φA = = |
E2. При условии, что внутреннее сопротивление элемента не равно нулю, это равенство может иметь место только, если i2 = 0. В последнем случае φB – φA > E2, т. е. кулонов-
ское поле сильнее стороннего, и ток через второй элемент будет идти от "плюса" к "минусу" (i2 < 0).
Решение. Применим обобщенный закон Ома к каждому из участков цепи, учиты- вая, что сила тока через внешнее сопротивление равна алгебраической сумме сил токов в первом и втором элементах, т. е.
I = i1 + i2 .
На участке AE1B:
i1r = ϕA −ϕB + E1 ,
откуда
i1 = E1 r−V .
Согласно условию для трех значений V получим: 1) i1 = 2,4 А; 2) 2,0 А; 3) 1,6 А. Аналогично для участка AE2B находим
i2r = ϕA −ϕB + E 2 ,
откуда
i2 = E 2 r−V ;
соответственно для трех случаев получим
i2 = 4 А; 0; − 0,4 А .
Сила тока через сопротивление R равна
I = i1 + i2 ; I = 2,8 А; 2 А;1 А,2.
Внешнее сопротивление можно вычислить, используя закон Ома для участка BRA:
R = Vl ; R = 0,64 Ом;1,0 Ом;1,8 Ом .
Задавая значения внешнего сопротивления и применяя законы Кирхгофа, можно сначала найти силы токов, а затем разность потенциалов между узлами. В этом случае весь качественный анализ должен быть проведен после решения задачи.
Задача 5
Три гальванических элемента с электродвижущими силами E1 = 2,5 В, E2 = 2,2 В и E3 = 3,0 В и с внутренними сопротивлениями по 0,2 Ом каждый включены, как показа- но на схеме рис. 83. Внешнее сопротивление R = 4,7 Ом. Найти силы токов во всех уча- стках цепи, разность потенциалов между узлами, количество джоулевой теплоты, вы- деляющееся во всей цепи, и работу каждого элемента за время τ = 1 с.