Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Решение. Разность потенциалов, общая для параллельного соединения, может быть найдена как отношение заряда Q системы к емкости батареи:

Здесь q1 и q2 – заряды на каждом из конденсаторов после параллельного соединения,

причем

Подставляя выражения (1) и (2) в (4), а затем в (3), получаем

U = (2U+0C1C)22 = 267 В .

C1 C2

Учитывая выражения (5), находим изменения зарядов на каждом конденсаторе:

Подстановка числовых данных в эти формулы дает результат:

Dq1 = -0,015 мкКл , Dq2 = 0,015 мкКл .

После решения задачи можно качественно обсудить, изменится ли в результате та- кого пересоединения энергия системы. Важно подчеркнуть студентам, что рассматри- ваемый процесс обязательно (если только конденсаторы не обладают одинаковой емко- стью) будет сопровождаться перераспределением зарядов, а так как система отключена от батареи, то их перераспределение вызовет уменьшение энергии.

Задача 2

Плоский воздушный конденсатор (l = 0,5 см; S = 200 см2) помещают в плоскую ме- таллическую коробку, основания которой, параллельные обкладкам, имеют те же раз- меры и отстоят от них на расстоянии l = 0,2 см. Изменится ли емкость конденсатора и насколько?

Считать, что обкладки конденсатора не соприкасаются (изолированы) с боковой стенкой коробки (рис. 74).

Анализ. Емкость конденсатора изменится только в том случае, если внесение его в металлическую коробку вызовет перераспределение зарядов на обкладках, вследствие

чего при неизменном заряде изменится разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Рассмотрим распределение зарядов на его обкладках в сле-

Рис. 74.

дующих случаях: 1) конденсатор уединен и заряжен до некото-

рой разности потенциалов U0; 2) конденсатор окружают двумя плоскими пластинами, параллельными его обкладкам и той же площади (основания коробки), которые соеди- няют между собой (боковые стенки).

Если между обкладками конденсатора приложена разность потенциалов U0, то на них будут находиться равные, но разноименные заряды, причем все заряды распреде- лятся на внутренних сторонах обкладок. Поверхностная плотность зарядов будет тако-

Эти формулы справедливы в предположении, что поверхностная плотность заряда σ0 постоянная по всей внутренней стороне пластины.

Сравнивая формулы (1) и (2), легко находим, что

Тогда для емкости (по определению) получаем известную формулу;

CI = ε0lS , (5)

причем выше и ниже конденсатора в точках, расстояния до которых малы по сравне- нию с линейными размерами каждой из обкладок, потенциалы будут отличаться друг от друга на величину U0.

Если теперь параллельно обкладкам поместить две металлические пластины, то

вятся заряды, распределенные с поверхностной плотностью m σ1 , (здесь и далее верх-

ний знак относится к верхней из двух рассматриваемых поверхностей). На обкладках конденсатора также появятся индуцированные заряды, в противном случае в толще са- мих обкладок будет существовать электрическое поле, создаваемое зарядами σ1. Эти индуцированные заряды распределятся также с поверхностными плотностями ± σ1. То- гда результирующая плотность зарядов на внутренних сторонах обкладок будет равна ± (σ0 – σ1). При таком распределении зарядов в промежутках II и III напряженности

Направления векторов E' и E показаны на рис. 75. Так как однородность полей обу- словлена малостью расстояний l и l', то разность потенциалов между основаниями ко-

робки

откуда разность потенциалов между обкладками конденсатора при том же суммарном его заряде Q будет равна

Интересно отметить, что поля, создаваемые любой из рассматриваемых заряжен- ных поверхностей, рассчитываются как однородные, однако поле в проводнике, соеди- няющем основания коробки, создается именно за счет нарушения однородности поля у концов конденсатора.

Решение. Каждое из оснований коробки образует с ближайшей обкладкой конден- сатора самостоятельный плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между обкладками l'.

Таких конденсаторов будет два, они как бы соединены друг с другом последова- тельно, а заданный конденсатор присоединен к ним параллельно, так как разность по- тенциалов между его обкладками обязательно должна равнять-

ся суммарной разности потенциалов на вновь образованных конденсаторах. Это равенство имеет место, так как оба основа-

ния коробки соединены между собой боковой стенкой и между ними не может быть разности потенциалов. Полученную сис- тему можно заменить, таким образом, эквивалентной схемой

(рис. 76), на которой цифрой I обозначен данный по условию конденсатор, цифрами II и III – конденсаторы, образованные основаниями коробки и ближайшими к ним об- кладками.

Очевидно, что

Учитывая, что конденсаторы II и III соединены последовательно, а конденсатор I, ем-

кость которого

присоединен к ним параллельно, находим, что емкость системы

Тогда изменение емкости конденсатора

Подставляя выражение (8) в формулу (10), получим

DC = ε20lS' = 4,4 ×10−11 Ф .

Задача 3

Плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S = 200 см2 каждая и рас- стоянием между ними l = 5 мм заряжается до разности потенциалов U0 = 600 В и от- ключается от батареи. Как изменяются емкость и энергия конденсатора, если в про-

странство между обкладками параллельно им внести металлическую пластину такой же площади и толщины l' = 2 мм?

Анализ. Внесение металлической пластины параллельно обкладкам конденсатора (при условии, что площади пластины и обкладок равны) не меняет конфигурации поля. Так как в плоском конденсаторе поле однородно, то не имеет значения расположение этой пластины – вплотную к одной из обкладок конденсатора или посередине между ними. И в том, и в другом случаях внесение пластины равнозначно уменьшению рас- стояния между обкладками от l до l – l'. Поскольку вносимая пластина располагается нормально к силовым линиям поля, то вне ее напряженность поля меняться не будет (при условии, что конденсатор отключен от батареи). Но в толще этой пластины на- пряженность поля равна нулю. Это значит, что внесение пластины уменьшает объем пространства, в котором существует электростатическое тюле. Следовательно, энергия конденсатора будет уменьшаться.

Решение. Уменьшение расстояния между обкладками за счет внесения пластины вызовет увеличение емкости конденсатора на величину

DC = C2 - C1 = lε-0Sl' - ε0lS = 23,6 ×10−12 Ф

(здесь C2 – конечная емкость конденсатора).

Изменение энергии конденсатора может быть рассчитано двумя способами.

1-й способ. Так как конденсатор отключен от батареи, заряд на его обкладках оста-

ется постоянным и равным

Q = C1U0 ,

где С1 – начальная емкость конденсатора.

Изменение энергии конденсатора при изменении емкости равно