торой ε = 7. Найти напряженность поля в диэлектрике и в вакууме для двух случаев: 1) граница диэлектрика параллельна заряженным пластинам; 2) граница диэлектрика пер- пендикулярна заряженным пластинам. Во втором случае искривлением силовых линий поля вблизи границы диэлектрика пренебречь.
Анализ и решение. 1-й случай. Граница диэлектрик-вакуум расположена перпен- дикулярно силовым линиям поля, поэтому вектор смещения при переходе через эту границу не меняется. Так как источниками поля являются две плоскопараллельные равномерно заряженные пластины, можно считать, что вектор смещения вообще не бу- дет зависеть от положения рассматриваемой точки, т. е.
D1 = D2 . |
(1) |
Здесь D1 и D2 – векторы смещения в точках 1 и 2 (рис. 70, а).
Однородность поля в пределах слоя диэлектрика и слоя вакуума позволяет запи- сать, что
U = E1x1 + E2 x2 , |
(2) |
где E1 и E2 – напряженности электрического поля в слоях 1 и 2; x1 и x2 – толщины слоев диэлектрика и вакуума.
Учитывая связь между значениями векторов напряженности и смещения, равенство
(1) можно преобразовать к виду
εE1 = E2 . |
(3) |
||||||||
Решая совместно уравнения (2) и (3) при условии, что x |
= x = |
l |
, получаем |
||||||
1 |
2 |
2 |
|||||||
E = |
2U |
= 3,75 ×104 |
В м ; |
||||||
l(1+ ε ) |
|||||||||
1 |
|||||||||
E2 = |
2Uε |
= 26,25 ×10 |
4 |
В м . |
|||||
l(1+ ε ) |
|||||||||
2-й случай. Согласно условию можно пренебречь искривлением силовых линий вблизи границы диэлектрик-вакуум, т. е. и в диэлектрике, и в вакууме поле можно счи-
тать однородным. Тогда |
||||
E = E |
2 |
= U |
=15 ×104 В м . |
(4) |
1 |
l |
|||
Это значит, что наличие диэлектрика не меняет (при такой конфигурации) напряженно- сти поля. Но слюда, находящаяся между пластинами, обязательно будет поляризована, т. е. на ее поверхностях, примыкающих к заряженным пластинам, появятся связанные
åQ = ρSт 2x , |
(2) |
где Sт – площадь основания вспомогательной поверхности S1. Интеграл по поверхности S1 сведется к интегралу только по двум основаниям (на боковой поверхности вспомога-
тельного цилиндра (D, dS) = 0, так как D ^ dS).
Во всех точках каждого основания векторы D и dS коллинеарны, вектор D по мо- дулю постоянен, и значения вектора смещения на обоих основаниях одинаковы (вслед- ствие симметричного расположения оснований относительно середины слоя). Следова- тельно,
òDdS = 2DSт . |
(3) |
||||||||||||||||||
S1 |
|||||||||||||||||||
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем, что при |
x |
£ |
l |
||||||||||||||||
D = ρx , |
2 |
||||||||||||||||||
(4) |
|||||||||||||||||||
E = |
ρx |
. |
(5) |
||||||||||||||||
ε ε |
|||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||
Для точек, лежащих вне слоя, аналогично найдем, что при |
x |
³ |
l |
||||||||||||||||
D = |
ρl |
2 |
|||||||||||||||||
, |
(6) |
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
E = |
ρl |
. |
(7) |
||||||||||||||||
2ε0 |
|||||||||||||||||||
Анализ формул (4) и (6) для граничных условий, т. е. для точек x = ± 2l , показывает,
что вектор смещения не терпит разрыва на поверхности слоя – слой заряжен равномер- но по объему; следовательно, в бесконечно тонком поверхностном слое свободный заряд будет равен нулю.
Вектор E, как видно из сравнения формул (5) и (7), терпит па границах слоя скачок, равный
DE |
ρl |
æ |
1 |
ö |
||
= |
ç1- |
÷ . |
||||
2ε0 |
ε |
|||||
è |
ø |
|||||
График зависимости E(x) представлен на рис. 72. При x < 0 график располагается ниже оси абсцисс, так как в этих точках вектор E на- правлен влево, т. е. отрицателен.
Найдем теперь разность потенциалов между серединой слоя и поверхностью:
U = ò2 |
Edx . |
(8) |
1 |
Векторы E и dx коллинеарны; точки 1 и 2, расположенные соответственно на середине и на поверхности слоя, характеризуются следующими значениями x: x1 = 0, x2 = 2l . По-
этому формула (8) примет вид
l 2 |
|||||
U = òEdx . |
(9) |
||||
0 |
|||||
Подставляя сюда выражение для E и производя интегрирование, получаем |
|||||
U = |
ρl2 |
. |
|||
8ε |
ε |
||||
0 |
|||||
Для построения графика φ(x) надо в какой-либо точке принять φ = 0 (например, при x = 0) и затем либо найти формулу φ(x) для любого значения x, либо воспользоваться уже построенным графиком E(x). В первом случае расчет удобнее вести по формуле
ϕ(0)-ϕ(x) = òx Edx .
0 |
||||||||||||||
æ |
x |
³ |
l |
ö |
, то этот интеграл надо разбить на два: |
|||||||||
Если рассматривать точки вне слоя ç |
÷ |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||
l |
l |
è |
ø |
|||||||||||
в пределах от 0 до |
и от |
до x. Проведем построение графика вторым методом |
||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
(рис. 73). Согласно условию φ(0) = 0. В точках 0 £ x £ |
l |
по мере воз- |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||
растания x потенциал будет уменьшаться (увеличение x соответствует движению вдоль силовых линий), причем кривая φ(x) должна быть вы- пуклой, так как с ростом x увеличивается модуль тангенса угла наклона касательной к кривой φ(x).
Точка |
x = |
l |
является особой точкой, в которой функция |
Рис. 73. |
2 |
||
E(x) = ddxϕ терпит разрыв.
За пределами слоя направление силовых линий поля не меняется; следовательно, с ростом x потенциал будет продолжать уменьшаться, но постоянство E вне слоя позво-