Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Так как поле в самом металле отсутствует, то выражения (3) и (4) можно приравнять, и

тогда

Формула (6) дает абсолютное значение поверхностной плотности заряда.

Подставляя числовые значения в (6) и учитывая знак индуцированного заряда,

окончательно будем иметь

σ1 = - 2πqa2 = -5,3×10−6 Клм2 ;

σ2 = - 2qaπr3 = -1,1×10−6 Клм2 .

Для расчета полного заряда Q стенки найдем геометрическое место равных плот- ностей: оно будет представляться бесконечно тонким кольцом радиуса ρ и толщины dρ с центром, находящимся в точке, лежащей на расстоянии a от заряда q (рис. 67, б). За- ряд, приходящийся на такое кольцо,

где dS = 2πρdρ – площадь рассматриваемого кольца. Подставим равенство (6) в форму- лу (7) и проинтегрируем полученное выражение по всей стенке, при этом радиус колец будет меняться в пределах от 0 до ∞; найдем, что полный заряд

Расстояние от точечного заряда до кольца равно r = ρ2 + a2 .

Подставляя это значение в выражение (8) и учитывая, что индуцированный заряд отри- цателен, получаем окончательный ответ

Последний расчет интересен тем, что здесь студенты впервые сталкиваются с пе- ременной поверхностной плотностью. Вся задача, по существу, решена с помощью ме- тода зеркального изображения, с которым студенты будут знакомиться достаточно

подробно в курсе электротехники (если он охватывает вопросы теории поля). При ре- шении задачи важен не столько метод, сколько ее физическая сущность – искажение поля, вызываемое внесением проводника, наличие скачка вектора напряженности на заряженной поверхности.

Задача 6

Металлический шар радиуса R1 = 2 см с зарядом q = 90 СГСЭq окружен металличе- ской концентрической сферой радиуса R3 = 6 см, соединенной с землей. Между шаром и сферой имеется сферический слой фарфора (ε = 6), примыкающий вплотную к внут- реннему шару и имеющий наружный радиус R2 = 4 см. Найти потенциал внутреннего шара и поверхностную плотность связанных зарядов на обеих поверхностях фарфоро- вого слоя. Построить графики зависимостей D(r), E(r) и φ(r), где r – текущее расстояние от центра шара.

Анализ. Внесенный слой диэлектрика вследствие поляризации изменит напряжен- ность поля. Величину напряженности поля внутри диэлектрика можно найти с помо-

Симметричная конфигурация заряженного тела и слоя диэлектрика позволяет предпо- ложить, что линии D так же, как и силовые линии поля, будут направлены радиально.

Чтобы найти значение вектора смещения в некоторой точке A, рас- положенной внутри диэлектрика, проведем (рис. 68) вспомога- тельную поверхность SA через эту точку, причем придадим этой поверхности форму сферы, центр которой совпадает с центром за- ряженной системы. Из соображений симметрии следует, что угол между векторами D и dS во всех точках поверхности равен нулю и

что абсолютное значение вектора D во всех точках поверхности одинаково. Тогда

Вспомогательная поверхность охватывает свободные заряды, находящиеся на внутрен- нем шаре, т. е.

1 Если обобщенная теорема Гаусса не рассматривается в курсе, то, поскольку здесь граница диэлектрика перпендикулярна линиям поля, ослабление поля в диэлектрике в ε раз можно постулировать.

В выражение (4) не входит характеристика среды, т. е. величина вектора смещения за- висит только от расстояния rA, (рис. 69, а). Тот факт, что D = 0 для точек r ≤ R1 и r ≥ R3 может быть показан либо повторным применением обобщенной теоремы Гаусса, либо из следующих соображений. Как известно,

а в указанных точках E ≡ 0.

Рис. 69.

Следует обратить внимание на то, что вектор смещения терпит разрыв на поверх- ностях, заряженных только свободным зарядом. Причем можно показать, что величина

скачка

Таким образом, на границе диэлектрик-вакуум (r = R2) вектор напряженности также терпит разрыв (см. график зависимости E(r) на рис. 69, б), и величина скачка, как обычно, равна

Здесь σ'– поверхностная плотность связанных зарядов на указанной границе. Используя формулы (7) и (8), можно найти поверхностную плотность связанных

зарядов, появившихся на поверхностях диэлектрика. При r = R2

При r = R1

σ + σ1'= ε0 DE ,

где σ – поверхностная плотность свободных зарядов на внутреннем шаре, и, следова- тельно, алгебраическая сумма σ + σ1 представляет собой результирующую плотность зарядов на поверхности r = R1;

DE = 4πεqεR2 .

0 1

Отсюда

Как видно, поверхностные плотности связанных зарядов , появившихся на обеих по- верхностях диэлектрика, различны, а суммарные связанные заряды равны по модулю и противоположны по знаку. Этот факт надо обязательно подчеркнуть, так как он объяс- няет, почему в точках R2 ≤ r ≤ R3, т. е. в вакууме, наличие диэлектрического слоя не из- менило напряженности поля.

Поскольку наружная сфера заземлена, то потенциал внутреннего шара может быть

рассчитан из формулы

R3

ϕ1 = òEdr .

R1

Но в этом выражении подынтегральная функция R(r) терпит разрыв в точке r = R2. По- этому интеграл следует разбить на два интеграла в пределах от R1 до R2 и от R2 до R3:

График φ(r) (рис. 69, в) так же, как и в задаче № 13 § 1, будем строить на основании уже построенного графика E(r). В точках, лежащих внутри заряженного шара, потенци- ал не изменен и равен потенциалу φ1 на поверхности, т. е. при r ≤ R1 φ = φ1. В точках R1 < r < R2 напряженность поля положительна, т. е. направлена по радиусу-вектору r; следовательно, по мере удаления от поверхности внутреннего шара потенциал будет убывать и на поверхности r = R3 обратится в нуль (внешняя сфера заземлена). Так как

во всем указанном промежутке напряженность убывает пропорционально r12 , потенци-

ал будет убывать пропорционально 1r . При r = R2 вектор напряженности терпит раз-

рыв; следовательно, при r = R2 график φ(к) будет иметь особую точку. В интервале R2 < r < R3 кривая зависимости φ(r) будет круче, чем в интервале R1 < r < R2, так как при переходе через точку r = R2 величина напряженности увеличивается скачком. Умень- шение абсолютного значения вектора E, т. е. уменьшение (по модулю) тангенса угла наклона касательной, обусловливает вогнутый характер кривой φ(r).

Задача 7

В плоском воздушном конденсаторе, заряженном до некоторой разности потенциа- лов, пластины притягиваются друг к другу с силой F0. Во сколько раз изменится сила притяжения пластин, если конденсатор опустить в керосин, относительная диэлектри- ческая проницаемость которого ε = 2? Задачу решить для двух случаев: 1) конденсатор отключается от батареи до опускания в диэлектрик; 2) конденсатор все время остается соединенным с батареей.

Анализ и решение. В отсутствие диэлектрика сила