Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Подставляя полученные выражения (2) и (4) в равенство (1) и учитывая значения и зна-

Задача 4

Две плоскопараллельные металлические пластины заряжены соответственно заря- дами: Q1 = 600 СГСЭq, Q2 = 200 СГСЭq. Расстояние между пластинами d = 3 см. Найти поверхностную плотность зарядов на каждой из сторон пластин, если площадь каждой пластины S = 200 см2. Зарядами, приходящимися на торцовые поверхности пластин, пренебречь.

Анализ (СГСЭ). Так как расстояние между пластинами мало, можно предполо- жить, что заряды распределяются по боковым поверхностям пластин равномерно, и по- ле, создаваемое любой из сторон, заряженной до поверхностной плотности σ1, будет однородным. Причем результирующая плотность будет складываться из плотностей зарядов, сообщенных пластине и индуцированных. Но так как сумма индуцированных зарядов всегда равна нулю, то суммарный заряд каждой из пластин должен равняться заряду, сообщенному пластине:

где σ1 и σ2 – результирующие поверхностные плотности зарядов на обеих сторонах пла- стины I; σ3 и σ4 – то же, на пластине II; S – площадь каждой стороны.

Распределение зарядов будет обязательно таким, что в толще каждой из пластин поле будет отсутствовать. Чтобы найти связь между поверхностными плотностями на

внутренних сторонах пластин, применим теорему Гаусса к вспомогательной по- верхности, расположенной хотя бы частично в толще металла. Удобнее всего этой по- верхности придать форму прямого цилиндра, основания которого параллельны пласти- нам и лежат внутри них (рис. 66):

Рис. 66.

Интеграл по боковой поверхности обращается в нуль, так как на этой поверхности

E dS; интеграл по торцам обращается в нуль, так как торцы расположены в толще ме- талла. Подставляя выражения (3) и (4) в формулу (2), получаем

Следовательно, внутренние поверхности пластин заряжены равными, но разноименны- ми зарядами. Такие две заряженные поверхности, как известно, не создают поля вне себя1. Значит, в толще металла поле будет создаваться только внешними сторонами пластин с поверхностными плотностями зарядов σ3 и σ4. Поэтому в толще металла поле будет равно нулю только при условии, что

1 Перед решением этой задачи следует напомнить студентам, что две плоскопарал- лельные поверхности, находящиеся на малом расстоянии, не создают во внешнем про- странстве поля, если они заряжены равными и разноименными зарядами, и не создают поля во внутреннем пространстве, если они заряжены равными и одноименными заря- дами.

Решение. Уравнения (1), (5) и (6) составляют систему четырех уравнений с че- тырьмя неизвестными. Решая их совместно, находим

σ1 = σ4 = Q1 + Q2 = 2 СГСЭσ , 2S

σ2 = Q12−SQ2 = 1СГСЭσ ,

σ3 = Q22− Q1 = −1СГСЭσ .

S

После решения этой задачи следует рассмотреть случай, когда Q2 = – Q1. Подстановка этих значений в окончательные выражения для σ1 приводит к резуль-

тату:

σ1 = σ4 = 0 ,

σ2 = QS1 , σ3 = − QS1 .

Это означает, что в плоском конденсаторе заряды распределяются только на внут- ренних сторонах пластин.

Точно такое же распределение зарядов получится, если заряд Q сообщить только одной пластине, а наружную сторону второй пластины заземлить.

Надо также показать, что, если заряд Q сообщен только одной пластине, а вторая располагается вблизи первой и не имеет заряда, то обе стороны первой пластины будут

обладать поверхностной плотностью σ = 2QS , на внутренней стороне второй пластины

появится индуцированный заряд, распределенный равномерно с поверхностной плот- ностью σ' = – σ; на внешней ее стороне σ'' = σ.

При этом условии напряженность поля между пластинами

E = σ ; ε0

в толще обеих пластин поле будет отсутствовать.

Используя это положение, приведенную задачу можно решить следующим обра- зом: если бы была заряжена только первая пластина, то поверхностная плотность заря-

дов на обеих ее сторонах имела бы значение

σ01 = 2QS1 ;

на второй пластине поверхностная плотность индуцированных зарядов равнялась бы m σ01 (здесь и далее верхний знак относится к левой, нижний – к правой стороне рас-

сматриваемой пластины). Теперь, если сообщить заряд Q2 второй пластине, то он рас-

пределится по ее сторонам с одинаковой плотностью

σ02 = Q2S2 ,

при этом поле в толще второй пластины будет отсутствовать. Тогда на первой пластине появится индуцированный заряд, который распределится с поверхностной плотностью

m σ02 .

В результате получим

σ1 = σ4 = σ01 + σ02 = Q12+SQ2 ,

σ2 = σ01 −σ02 = Q12−SQ2 ,

σ3 = σ02 −σ12 = Q22− Q1 .

S

Задача 5

Точечный заряд q = 3 · 10-6 Кл находится на расстоянии a = 3 см от металлической стенки, соединенной с землей. Найти: поверхностную плотность σ заряда, индуциро- ванного на стенке, в точке, ближайшей к заряду q; то же в точке, находящейся на рас- стоянии r = 5 см от заряда q; найти общую величину заряда, индуцированного на стен- ке.

Анализ. Поле точечного заряда обладает сферической симметрией – силовые ли- нии поля представляются прямыми, расположенными по радиусам. При внесении ме-

(правильнее было бы сказать, что из земли придут отрицательные заряды, которые скомпенсируют положительный заряд, появившийся на этой (левой) стороне металли- ческой стенки). Полученное поле аналогично полю, созданному двумя точечными рав- ными, но разноименными зарядами, находящимися на расстоянии 2a один от другого. В этом случае средняя плоскость (проходящая на расстоянии a от каждого из зарядов и перпендикулярная прямой, их соединяющей) представляет собой эквипотенциальную поверхность. Если в любое электрическое поле внести незаряженную металлическую поверхность, совпадающую с эквипотенциалью, то во внешнем пространстве поле не изменится. Поэтому поле в любой точке справа от стенки, созданное в действительно- сти точечным зарядом q и распределенным по поверхности стенки индуцированным зарядом, оказывается таким же, как и поле, созданное двумя равными разноименными зарядами q, находящимися на расстоянии 2a друг от друга.

Решение. В точке, расположенной непосредственно у поверхности стенки на рас- стоянии r от заряда q, согласно принципу суперпозиции, поле будет находиться по

формуле

Здесь E+ и E– – векторы напряженностей полей, созданных соответственно положи- тельным и отрицательным зарядами.

Вектор напряженности результирующего поля, как видно из рис. 67, а, будет на-

правлен горизонтально и иметь значение

Легко видеть, что cosα = ar ; окончательно будем иметь

Такое значение имеет поле непосредственно у поверхности стенки. Стенка заряжена с поверхностной плотностью σ, являющейся функцией координат. На поверхности стен- ки вектор E меняется скачком от E(r), определяемого формулой (3), до нуля, так как в толще самой стенки и слева от нее электрического поля нет.

Величина скачка E, претерпеваемого вектором напряженности, равна