Материал: МЭИ(ТУ) Физика

ляет заключить, что в точках x > 2l график φ(ч) будет представлять собой прямую,

идущую круче, чем касательная к параболе в точках x > 2l .

Здесь надо оговорить, если это не было сделано ранее, что в данном случае так же, как и в случаях равномерно заряженных длинной нити, длинного тонкого цилиндра, большой плоскости и т. п., начало отсчета для потенциала нельзя брать в бесконечно- сти, так как выражения для E [в данном случае формула (7)] имеют смысл только для точек, сравнительно близких к заряженному слою.

Задача 10

Цилиндрический конденсатор имеет два коаксиальных слоя диэлектрика. Первый слой – пропитанная бумага (ε1 = 4; R1 = 2,0 см; R2 = 2,3 см); второй слой – стекло (ε2 = 7; R2 = 2,3 см; R3 = 2,5 см). При какой разности потенциалов между обкладками начнется пробой конденсатора? Предельная (пробивная) напряженность для бумаги E1max = = 120 кВ/см, для стекла бумаги E2max = 100 кВ/см.

Внутренний радиус первого слоя диэлектрика и наружный радиус второго равны радиусам соответственно внутренней и внешней обкладок конденсатора.

Анализ. Предельной, или пробивной, называется такая напряженность, при кото- рой начинается разрушение диэлектрика, разрушение его молекул.

Сам процесс пробоя очень сложен, поэтому в электростатике можно говорить толь- ко о начале пробоя, а дальнейший ход процесса, изменение параметров поля и т. д. оп- ределяются различными факторами и, главным образом, чистотой и однородностью диэлектрика.

В данной задаче следует, прежде всего, найти, какой из двух слоев диэлектрика при повышении разности потенциалов между обкладками будет пробит первым. Так как поле плоскорадиальное, т. е. убывает с возрастанием расстояния r от оси цилиндров

при r = R1; во втором диэлектрике – при r = R2. Вычислим отношение напряженностей полей в указанных точках. Применив, как обычно, обобщенную теорему Гаусса, най-

дем

тогда как пробивная напряженность для бумаги всего лишь в 1,2 раза больше пробив- ной напряженности для стекла. Это сравнение показывает, что при постепенном повы-

шении разности потенциалов на обкладках пробой начнется в первом диэлектрике при r = R1. Следовательно, задача сводится к нахождению разности потенциалов, при кото-

рой

Решение. Формулы (2) и (3) связывают напряженности поля в рассматриваемых точках и линейную плотность заряда на обкладках. Найдем зависимость между линей- ной плотностью τ заряда и разностью потенциалов U.

По определению

Так как в точке r = R2, т. е. на границе диэлектрических слоев вектор напряженности меняется скачком, то интеграл следует разбить на два – в пределах от R1 до R2 и от R2 до R3:

Из формулы (1) можно получить, что в первом интервале изменения r напряженность

поля

во втором интервале

Подставляя выражения для E в формулу (6) и проводя интегрирование, получаем

Сравнивая формулы (7) и (2) и используя условие (4), находим

В менее подготовленной аудитории эту задачу следует разбить на 2-3 самостоя- тельные задачи: сначала найти напряженность поля в каждом слое диэлектрика, затем выяснить, в каком диэлектрике начнется пробой при повышении разности потенциалов, и только потом искать разность потенциалов, при которой начнется пробой.

§ 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ И ЭНЕРГИЯ

Задачи на расчет емкости конденсаторов, как правило, сводятся к подстановке чи- словых данных в готовые формулы и поэтому не представляют интереса. В более сла- бой аудитории можно предложить студентам в виде самостоятельного задания вычис- лить, пользуясь определением, емкости слоистых плоского и сферического конденсато- ров. Больший интерес представляют расчеты соединений конденсаторов. При этом на- до подчеркнуть, что параллельным называется такое соединение, при котором на об- кладках конденсаторов устанавливается одинаковая разность потенциалов, а заряд сис- темы равен сумме зарядов каждого конденсатора в отдельности. Последовательное со- единение – такое, при котором заряды конденсаторов равны между собой, разности по- тенциалов суммируются.

При расчете электрической энергии следует научить студентов пользоваться как формулами энергии конденсатора или уединенного проводника, так и формулой энер- гии поля в заданном объеме. Наибольшее значение имеют задачи, в которых приходит- ся находить изменение энергии вследствие, например, удаления диэлектрика или раз- движения обкладок конденсатора и т. п. При этом следует особо подчеркивать разницу между случаями, когда конденсатор отключен от источника литания до проведения указанных действий и когда он остается все время соединенным с источником питания.

В первом случае энергия конденсатора может меняться только за счет работы при- ложенных внешних сил, поэтому возрастание энергии конденсатора однозначно соот- ветствует положительной работе внешних сил, т. е.

Здесь Wк – изменение энергии конденсатора, W2 и W1 – соответственно конечная и на- чальная энергии конденсатора; A' – работа внешних сил.

Работа A поля равна работе внешних сил, взятой с обратным знаком.

Во втором случае изменение энергии конденсатора будет определяться работой внешних сил и вследствие изменения заряда конденсатора работой стороннего поля ис- точника:

В большинстве случаев изменение энергии Wк и работа батареи Aбат могут быть рас- считаны непосредственно.

Работа батареи будет определяться величиной переносимого заряда:

Здесь Q = Q2 – Q1 – изменение заряда конденсатора, (Q2 и Q1 – соответственно конеч- ный и начальный заряды); U – разность потенциалов на обкладках конденсатора, под- держиваемая постоянной благодаря соединению с батареей.

Формула (3) может быть применена только при условии, что указанное действие, например, удаление диэлектрика, производится настолько медленно, что разность по- тенциалов действительно остается постоянной. Это предположение объясняет, почему в уравнении (2), представляющем, по существу, уравнение энергетического баланса, не учитываются потери на джоулево тепло и энергию магнитного поля, пропорциональ- ные квадрату силы тока, которые должны были бы иметь место: ведь всякое перемеще- ние зарядов представляет собой электрический ток. Однако сделанное допущение рав- нозначно предположению, что перемещение заряда к конденсатору (или от него) про- исходит с бесконечно малой скоростью; следовательно, сила тока, соответствующая рассматриваемому перемещению зарядов, стремится к нулю. Предположение о мед- ленности процесса, обусловливающее постоянство разности потенциалов, следует ого- ворить; дальнейшие пояснения надо делать в конце решения конкретных задач.

Задача 1

Два конденсатора емкостью 100 и 200 см каждый соединены последовательно, за- ряжены до разности потенциалов U0 = 600 В и отключены от батареи. Конденсаторы, не разряжая, разъединяют и соединяют параллельно. Найти изменение заряда на каж- дом конденсаторе и разность потенциалов, которая установится при параллельном со- единении.

Анализ. При последовательном соединении каждый конденсатор обладает заря- дом, равным заряду всей системы:

Здесь q01, q02 – заряды 1-го и 2-го конденсаторов при последовательном соединении; Q0

– заряд системы.

Согласно определению

Этот же заряд сохранится на каждом конденсаторе и после их разъединения.

При параллельном соединении конденсаторов перетекание зарядов будет продол- жаться до тех пор, пока не установится одинаковая разность потенциалов U.