2.Все процессы в изолированной системе идут в сторону возрастания энтропии. (Система стремится к более вероятному состоянию.)
3.Невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. двигатель, который превращал бы всё подводимое к нему тепло в эквивалентную работу.
§ 10. Распределение молекул по абсолютным значениям скоростей (распределение Максвелла)
I. Функция распределения
Вероятность – отношение числа испытаний. при которых наступает событие, к об-
щему числу испытаний. |
|
e−αx2 – функция Гаусса. |
|
i-я ячейка |
Число зёрен в i-й ячейке: |
∆Ni = N0 f (xi )∆xi . |
|
∆Ni = f (xi )∆xi – вероятность попадания зёрен в |
|
N0 |
|
i-ю ячейку. |
x
∆xi
f(xi) – функция распределения. Физический смысл – плотность вероятности попадания зерна в i-ю ячейку.
Свойства функции распределения |
|
∑∆Ni = N0 |
|
∆Ni = N0 f (xi )∆xi → ∑∆N i = ∑N 0 f (x i )∆x i = N 0 |
, |
1 = ∑ f (xi )∆xi – условие нормировки. |
При ∆xi → 0
∞
∫ f (x)dx =1 .
−∞
Если данное событие обусловлено большим числом взаимонезависимых случайных причин, то события распределены по Гауссу и функция распределения имеет вид
f (xi )= Ae−αx2 .
+∞ |
1 |
||||||
α 2 |
|||||||
∫ |
Ae |
−αx2 |
dx =1 |
. |
|||
→ A = |
|||||||
−∞ |
π |
||||||
Двумерный случай
f (xi , yi )= Ae−αxi2 Ae−αyi2 |
, |
|||
r |
||||
f (x, y)= A2e−α(x2 +y2 ) = A2e−αr2 ; |
||||
∆N (xi , yi )= N0 A2 e−αri2 ∆xi ∆yi |
– число частиц в ячейке. |
|||
Число частиц в кольце: |
||||
∆N (r ) |
= N |
0 |
A2 e−αri2 2πr ∆r . |
|
i |
i i |
|||
Для кольца функция распределения |
||||
ϕ(r )= A2 e−αri2 |
2πr . |
|||
i |
i |
|||
Трёхмерный случай
Число частиц в шаровом слое радиуса ri и толщиной ∆ri:
∆N (r )= N |
0 |
A3e−αri2 |
4πr2 |
∆r . |
|||||
i |
i |
i |
|||||||
3 |
|||||||||
α |
|||||||||
2 |
|||||||||
3 |
e |
−αr2 |
2 |
||||||
ϕ(ri )= A |
i |
4πri |
, A3 = |
||||||
π |
|||||||||
– плотность вероятности попадания частицы в i-й сферический слой.
II. Распределение молекул по скоростям
Введём пространство скоростей.
z |
v1 |
vz |
||
v3 |
v3 |
v1 |
||
0 |
y |
0 |
vy |
|
v2 |
||||
x |
vx |
v2 |
В пространстве скоростей каждой молекуле, движущейся со скоростью v соответ-
ствует изобразительная точка с радиусом-вектором v.
vz |
dvy dvz |
dN v = N0 f (v) dvx dvy dvz , |
|
dvx |
где f(v) – плотность изобразительных точек. |
||
vy |
|||
vx
Найдём вид функции распределения.
Факты наличия у молекулы конкретных проекций скоростей vx, vy и vz являются взаимно независимыми. Из этого следует, что
f (v)= ϕ1 (vx ) ϕ2 (vy ) ϕ3 (vz ), |
(1) |
так как вероятность сложного события равна произведению вероятности каждой из компонент этого события.
Функции φ1, φ2 и φ3 имеют одинаковый вид, так как все направления равноправны. С учётом вышеуказанных свойств запишем:
ln f (v)= lnϕ(v |
x |
)+ lnϕ(v |
y |
)+ lnϕ(v |
z |
) |
∂ |
, |
||||||||||||||||||||||||||
∂vx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
∂f |
∂v |
= |
1 ∂ϕ(v |
) |
+ 0 |
+ 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
∂v |
∂vx x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
f (v) |
∂vx |
ϕ(vx ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∂v = |
∂ |
vx2 + v2y + vz2 = |
vx |
= vx |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
∂vx |
∂vx |
vx2 + v2y + vz2 |
v |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f '(v) |
vx |
= |
∂ϕ(vx ) |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
f (v) |
v |
∂vx ϕ(vx ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f '(v) |
1 1 |
∂ϕ(vx ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
v = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (v) |
vx |
∂vx ϕ(vx ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
– правая часть не зависит от vy и vz, значит, и левая часть не зависит от vy и vz.
Аналогично, продифференцировав по vy, получим
f '(v) 1 1 ∂ϕ(vy ) |
|
f (v) v = vy ∂vy ϕ(vy |
) |
– правая часть не зависит от vx и vz, значит, и левая часть не зависит от vx и vz.
Так как левая часть предыдущего равенства не зависит от vx, vy и vz, то она равна константе:
f '((v)) 1 = −α .
f v v
Тогда этой константе равна и правая часть уравнения:
1∂ϕ(v(x ) ) = −α ;
vx ∂vx ϕ vx
dϕ |
= −αvx dvx → lnϕ = − |
αv2 |
+ const , |
ϕ |
x |
||
2 |
αv |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ(vx )= A e− 2x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ(vy )= A e− |
αv2y |
αv2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
и ϕ(vz )= A e− |
2z . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
С учётом соотношения (1) получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
αv2 |
αv2y |
αv2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
f (v)= A3 e− |
2x |
e− |
e− |
2z |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f (v)= |
A e |
− |
α (v2x +v2y +v2z ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
αv2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f (v)= A3 e− |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для нахождения постоянной A воспользуемся условием нормировки: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
∞ |
αv2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
∫ϕ(vx )dvx |
=1, |
∫ A e− |
2x dvx = 1 – интеграл Пуассона; |
|||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
−∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
α |
3 |
3 |
−αv2 |
||||||||||||||||||||||||||||
α |
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
A |
3 |
2 |
f (v) |
2 |
e |
||||||||||||||||||||||||||
A = |
→ |
= |
→ |
= |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
2π |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
2π |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Найдём α. С одной стороны |
||||||||||||||||||||||||||||||||
m0 |
v2 |
= |
3 |
kT , |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
где m0 – масса одной молекулы. С другой стороны, |
среднее значение скорости v2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
можно найти по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∞
v2 = ∫v2 f (v)dv .
−∞
Отсюда
α = mkT0 .
Функция распределения молекул по скоростям с учётом направления скорости:
m |
3 |
m v2 |
+m v2 |
+m v2 |
||||||||
0 |
2 |
− |
0 x |
0 y |
0 |
z |
||||||
f (v)= |
e |
2kT |
. |
|||||||||
2πkT |
||||||||||||
III. Функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей (функция Максвелла)
vz
dvx·dvy·dvz
vy
vx
F(v)
e−αv2 v2
dN v = N0 f (v) 4πv2 dv – объём сферического слоя.
4 |
m |
3 |
m v2 |
||||||||||
2 |
|||||||||||||
− |
0 |
||||||||||||
dNv = |
N0 |
0 |
e |
2kT v2 dv |
, |
||||||||
π |
|||||||||||||
2kT |
|||||||||||||
здесь Nv – число молекул со скоростями от v до v + dv.
Функция распределения Максвелла:
4 |
m |
3 |
m v2 |
||||||||||
2 |
|||||||||||||
F(v)= |
0 |
e |
− |
0 |
v |
2 |
. |
||||||
2kT |
|||||||||||||
π |
2kT |
||||||||||||
v
F( v ) |
T1 |
При нагревании газа доля молекул, обла- |
дающих малыми скоростями, уменьшает- |
T2 > T1 ся, а доля молекул с большими скоростями увеличивается.
v
Наивероятнейшая скорость vвер соответствует максимуму функции распределения
F(v):
∂F (v) |
= 0 , |
|||||||||||||||||||||
∂v |
||||||||||||||||||||||
∂ |
2 |
− |
αv |
2 |
− |
αv2 |
2 |
α |
−αv2 |
2 |
2 |
|||||||||||
e |
2 |
= 2v e |
2 − v |
2 |
2 |
v e |
2 |
= |
0 ; 2 − v α = 0 |
, v = |
α |
; |
||||||||||
∂v |
||||||||||||||||||||||
vвер = |
2kT |
. |
||||||||||||||||||||
m0 |
F(v) |
|||||||||||||||||||||
Средняя скорость |
v : |
S = 1 |
||||||||||||||||||||
∞ |
8kT . |
|||||||||||||||||||||
v = ∫vF(v)dv = |
||||||||||||||||||||||
0 |
πm0 |
|||||||||||||||||||||
vвер |
v |
|||||||||||||||||||||
vкв |
||||||||||||||||||||||