При раздвижении пластин внешняя сила направлена против силы взаимодействия пластин (силы притяжения), т. е. совершает положительную работу Aвнеш > 0. Работу внешних сил найдем из уравнения энергетического баланса (4.1):
Aвнеш = DW - Aист .
В первом случае источник ЭДС отсутствует: Aист = 0, емкость конденсатора изме- няется от C1 до C2, заряд Q = C1U не изменяется. Поэтому
Q |
2 |
æ |
1 |
1 |
ö |
C1U |
2 |
æ |
C1 |
ö |
|||||
Aвнеш = DW = |
ç |
- |
÷ |
= |
ç |
÷ |
|||||||||
2 |
C |
||||||||||||||
ç C |
2 |
÷ |
2 |
ç C |
2 |
-1÷. |
|||||||||
è |
1 |
ø |
è |
ø |
|||||||||||
Используя выражение для емкости плоского воздушного конденсатора C1 = ε0S/d1 по-
лучаем
ε0SU |
2 |
æ |
ö |
|||
Aвнеш = |
ç d2 |
÷ |
> 0 , |
|||
2d |
ç |
-1÷ |
||||
d |
||||||
1 |
è 1 |
ø |
||||
так как d2 > d1.
Во втором случае источник ЭДС имеется, при изменении емкости заряд изменяется
(в данном случае уменьшается): Q = Q2 – Q1 = U(C2 – C1). При этом сторонние силы
совершают работу по переносу этого заряда Aист = U Q (при условии, что все про-
цессы происходят так медленно, что ток в цепи практически отсутствует). Уравне-
ние энергетического баланса даст:
A = DW - A = U 2 |
(C |
2 |
- C )-U 2 |
(C |
2 |
- C )= ε0SU 2 d2 - d1 |
> 0. |
|||
внеш |
ист |
2 |
1 |
1 |
2 d1d2 |
|||||
Пример 4.3. В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объемной плотностью заряда, имеющее форму шара радиусом r0. Суммарный заряд электронного облака – Q. Найти энергию электростатического поля в пространстве, занятом зарядом, и вне его.
Энергия электростатического поля в произвольном объеме V находится по формуле
W = òwedV ,
поV
где we = 12 ε0E2 – объемная плотность энергии, E – напряженность поля в элементарном
объеме dV.
Распределение заряда обладает центральной симметрией, E = Er(r) –силовые ли- нии, направлены вдоль радиусов-векторов точек, исходящих из центра, и напряжен-
ность зависит только от координаты r по оси вдоль радиуса-вектора. С помощью тео-
ремы Гаусса получаем
r ≤ r0, E |
r |
= |
Qr |
; r ≥ r0, E |
r |
= |
Q |
. |
||||||
4πε |
0 |
r3 |
4πε |
0 |
r2 |
|||||||||
0 |
||||||||||||||
Элементарный объем dV должен быть выбран так, чтобы в его пределах плотность энергии, а следовательно, и E, оставались постоянными. Таким требованиям в данном
Рис. 4.2.
случае удовлетворяет очень тонкий полый шар, концентричный с шаровым зарядом и ограниченный сферами радиусов r и r + dr (рис. 4.2, объем dV показан штриховкой).
Его объем равен приращению dV объема шара V = |
4 |
πr3 при изменении радиуса на dr: |
|||||
3 |
|||||||
æ 4 |
πr |
3 |
ö |
= 4πr |
2 |
dr . |
|
dV = dç |
÷ |
||||||
è 3 |
ø |
||||||
Подставляя полученные значения E = | Er| и dV, получим для энергии поля W1 внутри шара (при интегрировании по объему шара r изменяется от 0 до r0):
W1 = òwdV = |
ε |
0 |
r0 æ |
Qr |
ö2 |
4πr |
2 |
Q2 |
|||||
ç |
÷ |
||||||||||||
2 |
òç |
4πε |
0 |
r3 |
÷ |
dr = 40 8πε |
r . |
||||||
поV |
0 è |
0 |
ø |
0 0 |
|||||||||
Энергия поля W2 вне шара (при этом r изменяется от 0 до ∞) равна
ε |
0 |
∞ æ |
Q |
ö2 |
4πr |
2 |
Q2 |
||||||
ç |
÷ |
||||||||||||
W2 = |
2 |
4πε |
dr = 8πε |
r . |
|||||||||
òç |
0 |
r2 ÷ |
|||||||||||
r0 è |
ø |
0 0 |
|||||||||||
Задачи
4.1.Чему равна емкость земного шара? Его радиус rЗ = 6,4 · 106 м.
4.2.На два последовательно соединенных конденсатора емкостью C1 = 100 пФ и C2 = 200 пФ подана постоянная разность потенциалов U = 300 В.
1. Найти разности потенциалов U1 и U2 на конденсаторах и их заряды. 2. Какова емкость C системы?
4.3. Конденсатор емкостью C1 = 100 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 90 В. Конденсатор отключают от источника и соединяют параллельно с другим конденсатором, незаряженным. Конечная разность потенциалов на конденсаторах
U2 = 30 В.
1.Найти емкость второго конденсатора.
2.Найти изменение энергии системы.
4.4.Конденсатор емкостью C1 = 0,20 мкФ, заряженный до разности потенциалов U1 = 320 В, соединили параллельно с конденсатором, заряженным до разности потен- циалов U2 = 450 В. После этого на батарее конденсаторов установилась разность по- тенциалов U = 400 В. Найти емкость второго конденсатора.
4.5.Вывести формулу для емкости плоского конденсатора, площадь пластин кото- рого S, а расстояние между ними d. Краевыми эффектами пренебречь. Рассчитать зна- чение емкости при S = 200 см2, d = 5 мм.
4.6.Вывести формулу для емкости сферического конденсатора, радиус внутренней обкладки которого r1, а внешней – r2.
1. Рассчитать значения емкости при r1 = 15 см, r2 = 30 см.
2. Показать, что емкость тонкого сферического конденсатора (т. е. с малым рас- стоянием между обкладками) можно вычислять по формуле емкости плоского конден- сатора.
4.7.Вывести формулу для емкости цилиндрического конденсатора длиной l, радиу- сом внутренней обкладки r1, внешней r2). Концевыми эффектами пренебречь.
1. Рассчитать значение емкости при l = 10 м, r1 = 2,0 мм, r2 = 1,0 см.
2. Показать, что емкость тонкого цилиндрического конденсатора (т. е. с малым рас- стоянием между обкладками) можно вычислять по формуле емкости плоского конден- сатора.
4.8.Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику с постоянной ЭДС
ε= 300 В. Пластины конденсатора сближаются с постоянной скоростью v = 1,0 мм/с.
1.Какой ток будет идти по подводящим проводам в тот момент, когда расстояние между пластинами x = 2,0 мм? Площадь каждой пластины S = 400 см2. Разность потен- циалов на обкладках конденсатора все время считать постоянной и равной ε (U = ε).
2.Какую силу надо приложить к движущейся пластине, чтобы скорость ее остава- лась постоянной?
3.Чему равна эта сила для x = 2,0 мм?
4.9.Найти емкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твердым ди- электриком, если граница диэлектрик-воздух перпендикулярна пластинам конденсато- ра. Расстояние между обкладками d = 4,0 мм, площадь пластин S = 300 см2, относи- тельная диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краев пренебречь.
4.10.Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потен-
циалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекло (ε1 = 7) толщиной d1 = 7,0 мм и эбонит (ε2 = 3,0) толщиной d2 = 3,0 мм. Площадь каждой пластины кон- денсатора S = 400 см2. Найти: 1) емкость конденсатора; 2) величины электрического смещения и напряженности поля в каждом слое; 3) плотности энергии электрического поля в каждом из диэлектриков.
4.11.Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см, r1 = 9,0 см. Про-
странство между обкладками заполнено двумя концентрично расположенными слоями диэлектрика толщиной = 3,0 см каждый. Диэлектрическая проницаемость первого слоя, прилегающего к внутренней обкладке конденсатора ε1 = 4, диэлектрическая про- ницаемость второго слоя ε2 = 6. Найти емкость конденсатора.
4.12.Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы радиуса r1 = 2,0 мм и оп- летки радиусом r2 = 10 мм. Пространство между ними заполнено двумя слоями диэлек- трика. Диэлектрическая проницаемость первого слоя, примыкающего к жиле, ε1 = 4,
диэлектрическая проницаемость второго слоя ε2 =7. Радиус границы раздела r0 = 5,0 мм. Найти емкость кабеля на единицу его длины.
4.13.Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см, r2 = 5,0 см. Про- странство между обкладками заполнено наполовину парафином. Границу диэлектрик- воздух можно считать плоской и искривлением силовых линий на границе можно пре- небречь. Рассчитать емкость конденсатора, если диэлектрическая проницаемость пара-
фина ε = 2,0.
4.14.В плоский конденсатор емкостью C0, заряженный до разности потенциалов U0, вводят параллельно его обкладкам медную пластину той же площади, что и обклад- ки. Толщина пластины в n раз меньше начального расстояния между обкладками.
1. Найти изменение емкости конденсатора.