Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 932-936 | База студенческих работ

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также:

	ϕ(0) =	Q1		æ	1 1		ö		Q1 + Q2
3.11. 1.				ç			÷			= 2,9 кВ .

		4πε				- r		+
			0	ç x			÷		4πε r
				è	0	1	ø		0 2

2.E(r)= Q1 + Q2 , ϕ(r)= Q1 + Q2 .

4πε0r2 4πε0r

3.См. рис. 3.9.

Рис. 3.9.

3.12. 1. D = Dx , E = Ex ; ось x перпендикулярная обкладкам;

E2 = Ud 1+2ε = 38кВм ;

б) D1 = ε0U d = 1,3×10−6 Клм2 ; D2 = ε0εU d = 9 ×10−6 Клм2 ;

E1 = E2 = Ud =150кВм .

	2. а) D = 0; DE =	2U ε -1	= 220кВ м ;
		d ε +1
	б) DD = ε0 (ε -1)U d = 8×10−6 Кл м2 ; E = 0.
3.13.	а) F = σQ ;
	ε ε
	0
	б) F = σQ .
	ε0
3.14. a) Не изменится.
	б) Уменьшится в ε раз.
3.15.	а) F = F0 ε = F0	2 ;
	б) F = εF0 = 2F0 .

3.16. 1. а) DD(r )=

Q1

= 6 мкКл м2 , DE(r )

=

Q1

= 110 кВ м ;

4πr2

4πε εr2

1

0

1

б) DD(r )= 0 , DE(r ) = ε -1

Q1

= 140 кВ м ;

4πε

r2

3

ε

0

3

в) DD(r )=

Q2

= 2 мкКл м2 , DE(r )=

Q2

= 220 кВ м .

4πr2

4πε

r2

2

0

2

2. σ (r )=

Q1

= 6 мкКл м2 , σ '(r )

=

ε -1

Q1

= 5 мкКл м2 ,

4πr2

ε 4πr2

1

σ (r )= 0 , σ '(r )

= ε -1

Q1

=1,2 мкКл м2 , σ (r )=

Q2

= -2 мкКл м2 .

4πr2

3

ε 4πr2

2

3

2

3. См. рис. 3.10 а, б, в.

r, см	r, см

r, см

Рис. 3.10 а, б, в.

3.17. ϕ = ϕ0 r2 + (εεr2-1)r1 = 830 В.

3.18. ϕ = ϕ0 - ε ε-1(ϕ1 -ϕ2 )= 520 В .

3.19. 1.

D(r )= ρr 2 = 8,7 ×10−17 Кл м2 ;

1

E(r ) =

ρr1

= 1,4×10−6 В м ;

2ε0ε

1

D(r )=

ρr02

= 8,7 ×10−17 Кл м2 ;

2

2r2

E(r )=

ρr02

=1,0 ×10−5 В м .

2

2ε0r2

2

é

r2

æ

2

öù

U =

ρr0

1

ç

r1

÷

−7

2.

2ε

êln r

- r2

= 6

×10

В.

+ 2ε ç1

÷ú

0

ë

0

è

0

øû

3.

См. рис. 3.11 а, б, в.

Рис. 3.11 а, б, в.

3.20. σ1 = Q12+SQ2 = 2,0 ×10−7 Клм2 ; σ2 = Q12-SQ2 = 1,0 ×10−7 Клм2 ;

σ3 = -σ2 ; σ3 = σ1 ; σ2 ' = σ3 ' = σ2 ε ε-1 = 5 ×10−8 Клм2 .

3.21.1. Q = 2πε0 (ε +1)r0ϕ = 9,0 ×10−9 Кл ,

3.22.1.

2.

3.23.а)

2. σ1 = ε0ϕr0 = 5,3×10−7 Клм2 ; σ2 = ε0εϕr0 = 1,0×10−6 Клм2 .

а) σ '(h)=					Q ε -1	= 1,2 ×10−6	Кл м2 ;

					2πh2 ε +1
					2πh2 ε +1
б) σ '(r)=					Qh ε -1	= 2,5 ×10−7	Кл м2 .

					2πr3 ε +1
					2πr3 ε +1
Q'=	ε -1			Q = 6,7 ×10−9 Кл .
Q'=				Q = 6,7 ×10−9 Кл .
	ε +1
D = ε		E	0		sin2 α + ε 2 cos2 α = 2,3×10−11 Кл м2 ; tg β =			tgα	, β = 41°;
D = ε		E			sin2 α + ε 2 cos2 α = 2,3×10−11 Кл м2 ; tg β =				, β = 41°;
0								ε
								ε

E = Eε0 sin2 α + ε 2 cos2 α =1,3 Вм ; γ = β;

P = (ε -1)ε0E0 = 1,26 ×10−11 Клм2 ; δ = β.

б) σ '= ε ε-1ε0E0 s α = 7,7 ×10−12 Клмin2 .

3.24. 1. Eв = Ud = 26 кВсм , нет.

2. Eв = U		ε	= 31,4 кВ см , да.
	εd1	+ d2

4. ЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Емкость конденсатора можно рассчитать, используя соотношение между его заря- дом и разностью потенциалов между его обкладками (см. пример 4.1).

Энергия электростатического поля заряженного конденсатора может быть выраже- на через его емкость и заряд или разность потенциалов на обкладках.

Если обкладки конденсатора или диэлектрик в промежутке между ними переме- щаются бесконечно медленно под действием приложенных к ним внешних сил, то из- менение энергии конденсатора W равно их работе и работе сил стороннего электриче- ского поля в источнике, если он есть (см. пример 4.2):

W = Aвнеш + Aист .

(4.1)

Энергия электростатического поля в некотором произвольном объеме может быть рассчитана по известным значениям мнимости энергии поля (см. пример 4.3).

Примеры решения задач

Пример 4.1. Найти емкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твердым диэлектриком, граница которого параллельна пластинам конденсатора. Рас- стояние между обкладками d = 4,2 см, площадь пластины S = 300 см2, диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краев пренебречь.

Рис. 4.1.

Пусть конденсатор имеет на обкладках заряды Q и – Q (рис. 4.1), тогда емкость C = Q/U. Вычислим разность потенциалов между обкладками, созданную этими заря-

дами

(2)

U = òEdl .

(1)

Интегрирование ведется от обкладки 1 (например, с зарядом Q) до обкладки 2. Напря- женность E в любой точки на траектории интегрирования 1 – 2 в пространстве между

обкладками равна E(A) =	D(A)	. Рассматриваемое распределение свободного заряда не

	ε(A)ε0

обладает симметрией, достаточной для использования теоремы Гаусса для расчета. Воспользуемся принципом суперпозиции D(A) = D1(A) + D2(A), где индексы 1, 2 соот- ветствуют номеру обкладки. Электрическое смещение поля, созданного зарядом + Q, равномерно распределено по плоскости, т. е. D1, вследствие симметрии, равно D1 = D1x,

по теореме Гаусса D

=

Q

, x > 0, ось x показана на рис. 4.1. В пространстве между об-

1x

2S

кладками D

=

Q

и D

x

= - Q . Распределение D внутри конденсатора однородно. На-

2x

2S

S

пряженность поля различна в разных участках: в диэлектрике (0 < x < d/2) E

x

=

Q

, в

ε εS

0

воздухе (d/2 < x < d) E

x

=

Q

(в пределах каждого слоя поле однородно). Поэтому раз-

ε0S

ность потенциалов

(2)

d

d 2

Qdx

d

Qdx

Q d

æ 1

ö

U =

ò

Edl =

ò

E

dx =

ò

+

ò

=

ç

+1÷

ε εS

ε

S

ε

S 2

x

0

è ε

ø

(1)

0

d 2

и емкость

C = Q U = ε0S

2ε

= 116 пФ .

d ε +1

Эту же задачу можно решить, используя известную формулу для емкости плоского конденсатора. Допустим, что на границе раздела воздух-диэлектрик имеется электриче- ское поле. При этом конденсатор можно рассматривать как два последовательно соеди-

ненных конденсатора емкостью

C = ε0εS			и C	2	= ε0S
1	d	2			d	2

соответственно. Это можно сделать, так как разность потенциалов между обкладками складывается из разностей потенциалов на "обкладках" этих половин. Общая емкость

вычисляется по формуле

C =	C1C2		.

	C + C	2
	1

Пример 4.2. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины плоского воздушного конденсатора с расстояния d1 до расстояния d2, если конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Площадь каждой пластины S. Рассмотреть два случая: а) конденсатор перед раздвижением пластин отключается от источника; б) кон- денсатор все время подключен к источнику.

а) D = D = U 2ε0ε

= 2,3×10−6 Кл м2 ; E = U

= 260кВ м ;