Материал: МЭИ(ТУ) Физика

3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

При равновесии зарядов на проводнике и при внесении проводников в электроста- тическое поле напряженность поля внутри проводника равна нулю, а потенциалы всех точек проводника равны (см. пример 3.1).

В диэлектриках, находящихся в электростатическом поле, напряженность может быть найдена по известным значениям электрического смещения D. Если конфигура- ция зарядов, создающих электрическое поле, обладает симметрией, то для нахождения электрического смещения D используют обобщенную теорему Гаусса (см. пример 3.3).

Примеры решения задач

Пример 3.1. Внутри металлического шара имеется асимметрично расположенная сферическая полость, в центре которой находится точечный заряд Q = l,2 · 10-8 Кл (рис. 3.1). Найти напряженность и потенциал электрического поля вне шара на расстоя- нии r0 = 10 мм от его центра. Как изменится распределение зарядов, если шар соеди- нить с Землей?

Рис. 3.1.

Так как шар металлический, то на его внутренней и внешней поверхностях возник- нут индуцированные заряды Q1 и Q2, вследствие чего напряженность результирующего поля в толще шара станет равной нулю.

Для нахождения заряда Q1 используем теорему Гаусса. Вспомогательную поверх- ность S1 проведем в толще металла, где E = 0 (рис. 3.1):

Q1 + Q2 = 0 , следовательно, Q1 = – Q.

ε0

Согласно закону сохранения заряда Q1 + Q2= 0 (так как металлический шар не был заряжен), получим Q2 = – Q1. Заряды Q1 и Q2 распределяются по поверхностям по-

лости шара равномерно, так как заряд Q находится в центре полости, а поверхности

сферические. Для нахождения напряженности проведем вспомогательную поверх-

ность S2 через точку, в которой определим E и, используя теорему Гаусса

Выбирая потенциал, равный нулю, в бесконечности, потенциал в точке r = r0 находим

по формуле

При соединении шара с Землей заряд на внешней поверхности шара исчезнет, так как свободные электроны Земли нейтрализуют заряд шара Q. Потенциал шара будет равен потенциалу Земли (обычно φЗ = 0). Внутри полости поле останется прежним.

Пример 3.2. Большой плоский слой толщиной d из изотропного диэлектрика с ди- электрической проницаемостью ε заряжен с постоянной объемной плотностью ρ. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне слоя.

Напряженность электростатического поля E(A) в точке A в присутствии изотропно-

го диэлектрика может быть найдена по известным значениям электрического смещения D(A) в той же точке:

E(A)εD(A(A)ε)0 ,

где запись ε(A) подчеркивает, что значение диэлектрической проницаемости берется в той же точке A. Пользуясь симметрией заряда, найдем D(A) с помощью обобщенной теоремы Гаусса òDdS = Qохвсвоб . Введем ось x, направленную перпендикулярно поверхно-

сти слоя с началом на средней плоскости слоя, которая показана на рис. 3.2 штриховой линией.

Свободный заряд, создающий поле, обладает плоской симметрией – объемная плотность заряда ρ зависит только от значений x, не зависит от положения точки в плоскости, параллельной поверхности слоя, и значения ρ(x) одинаковы при отражении в средней плоскости ρ(x) = ρ(– x). Электрическое смещение D имеет составляющую только вдоль оси x: D = Dx(x). Вычислим поток D через поверхность цилиндра с осно-

ваниями Sосн, параллельными поверхностям слоя (рис. 3.2, на нем также показаны векторы внешней нормали dS):

D, E

dS

штриховкой, Sосн взяты разные для наглядности. При x ≤ d/2 Vзар = 2xSосн, при x ≥ d/2 Vзар = Sоснd. Итак,

Рис. 3.3 а, б.

электрик изотропный, E ↑↑ D, т. е. E = Ex – силовые линии направлены параллельно

Отметим, что на границе диэлектрика Dx изменяется непрерывно, а Ex терпит раз-

рыв, что обусловлено возникновением поляризационного заряда. Зная распределе-

ние E(x), можно найти распределение потенциала (например, как в примере 2.2),

найти силы взаимодействия объемного заряда с другими зарядами.

Задачи

3.1. В однородное электрическое поле помещен металлический шар.

1. Проведите силовые линии и эквипотенциальные поверхности внутри и вне про- водника.

2. Представьте себе, что индуцированные заряды проводника "заморожены", после

чего первичное электрическое поле выключено. Как будет выглядеть остаточное

электрическое поле внутри и вне проводника?

3.2.Два уединенных металлических шарика радиусами r1 и r2, имеющие одинако- вые заряды Q, соединяются длинной проволокой (зарядом на ней можно пренебречь).

1. Найти заряды на шариках после соединения.

2. Каковы заряды на шариках, если меньший из них после соединения окружить металлической заземленной сферой радиусом r3 (r3 = r1)?

3.3.Точечный заряд Q > 0 расположен на расстоянии h от большой* проводящей плоскости.

1. Нарисовать силовые линии поля и найти силу, с которой плоскость действует на заряд Q.

2. Найти напряженность поля в точке C, равноотстоящей от плоскости и от заряда Q на расстояние h.

3. Рассчитать напряженность поля в симметричной точке C', расположенной по другую сторону плоскости.

4. Найти работу A' внешних сил, совершаемую при перемещении заряда Q в беско- нечность.

3.4.Прямой длинный* провод, равномерно заряженный с линейной плотностью

τ= 4,8 · 10-12 Кл/м натянут параллельно земной поверхности на высоте h = 5 м.

1. Чему равна напряженность поля у поверхности Земли непосредственно под про- водом?

2. Найти величину электрической силы, с которой поле действующей на единицу

длины провода. Собственным полем Земли пренебречь.

3.5. Две квадратные металлические пластины расположены параллельно друг другу на расстоянии d = 3,0 мм. Одной из них сообщен заряд Q1 = 6 · 10-7 Кл. Вторая не заря- жена.

1.Найти поверхностные плотности зарядов на каждой стороне каждой из пластин, если ребро каждой a = 20 см.

2.Найти разность потенциалов между пластинами.

3.Решить задачу, если второй пластине сообщен заряд Q2 = 2,0 · 10-7 Кл. Зарядами, приходящимися на торцевые поверхности пластин, пренебречь.

3.6.Три металлические квадратные пластины расположены параллельно друг другу так, что расстояние между пластинами 1 и 2 d1 = 5 мм, а расстояние между пластинами 1 и 3 d2 = 8 мм. Второй пластине сообщен заряд Q. Наружные пластины (1 и 3) соеди- нены проводником.

1.Найти отношение плотностей поверхностных зарядов σ2' и σ2" на обеих сторонах второй пластины.

2.Найти численные значения поверхностных плотностей на обеих сторонах каж- дой из трех пластин, если заряд Q = 1,2 мкКл, площадь каждой из пластин S = 900 см2.

3.7.В центре полого, незаряженного, изолированного металлического шара, внут-

ренний радиус которого r1 = 2,0 см, внешний – r2 = 3,0 см, расположен точечный заряд

Q = 2,0 · 10-9 Кл

1. Найти напряженность и потенциал поля в точках, лежащих на расстояниях r3 = 1,0 см и r4 = 5,0 см от заряда.

2. Построить график зависимости Er(r) и φ(r) и сравнить с аналогичными графиками

для уединенного точечного заряда.

3. Решить задачу для случая, когда наружная поверхность шара заземлена.

3.8. Металлический шар радиусом r1 с зарядом Q1 окружен концентрической ме- таллической незаряженной оболочкой, внутренний радиус которой r2, внешний – r3.

1.Рассчитать потенциал шара и оболочки.

2.Построить графики зависимости проекции вектора напряженности Er и потен- циала φ от расстояния r, отсчитываемого от центра шара.

3.Как будет меняться поле вне оболочки при перемещении шара внутри нее?

4.Каковы потенциалы шара и оболочки, если оболочку заземлить?

3.9. Внутри металлического незаряженного шар радиуса r0 имеются две произволь- но расположенные сферические полости, в центре каждой из которых помещены то- чечные заряды Q1 и Q2. На расстоянии r1 >> r0 от центра шара находится третий точеч- ный заряд Q3.

1. Найти силы, с которой поле действует на каждый из зарядов и на шар.