Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 818-822 | База студенческих работ

§ 2. Методы расчета вектора индукции магнитного поля

4. С помощью векторного	5.	С помощью закона полно-	6.	Метод	суперпозиций:
4. С помощью векторного	5.	С помощью закона полно-	6.	Метод	суперпозиций:
потенциала A (уравнение		го тока (уравнение Мак-		B = ∑∆Bi
Максвелла)		свелла)

	I. Расчет B с помощью векторного потенциала A
∫Bdl = µ0	∫jdS – одна из форм записи уравнения Максвелла.
l	S
	= ∑I

Дифференциальная форма записи этого уравнения: rot B = µ0j. ротор (вихрь)

Вводят понятие векторного потенциала A, так что B = rot A, причем div A = 0. Тогда rot rot A = µ0j

или в проекциях на оси координат

∂

2

A2x +

∂

2

A2x +

∂

2

A2x

= −µ0 jx

∂x

∂y

∂z

∂2 Ay

(I)

+

= −µ0 jy .

∂x2

∂y2

∂z2

∂2

A

∂2

A

∂2

A

= −µ0 jz

∂x

2z +

∂y

2z

+

∂z

2x

Эту систему уравнений можно дополнить еще одним уравнением для электростатического потенциала:

∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2ϕ	= −	ρ	.
∂x2		∂y2		∂z2
						ε 0

В четырехмерном пространстве векторный потенциал A и потенциал φ образуют единый четырехвектор.

Из системы (I) находят A. Зная A, получим B = rot A.

II. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора B)

Закон полного тока может быть получен из опытного закона Био-Савара-Лапласа.

∫Bdl = µ0 ∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl (СИ) Циркуляция вектора B по произвольному

l

замкнутому контуру l равна произведению µ0 на алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром интегрирования l.

Здесь µ0 = 4π 10−7 Гнм .

Ток называют сцепленным с контуром l, если его нельзя "вытащить" из контура, не разорвав контур или ток.

об

I1

хо

д

к

n

I2 сонаправлен n,

I2 > 0, l I1 < 0.

	а
тур
он

I2

Ток, сцепленный с контуром

Ток, не сцепленный с контуром

Пример 1. Поле бесконечно длинного проводника с током
I	В качестве контура интегрирования l выберем силовую линию, прохо-
l	дящую через данную точку.
обход	∫Bdl = ∫Bdl cos(Bdl)= {всилу симметрии B = const на контуре l}= B ∫dl =
	l	l	l
	= B2πr ,

∑I = +I ,

B2πr = µ0I B = µ2π0 rI .

				Пример 2. Поле длинного соленоида (катушки)
	1	2		В качестве контура интегрирования l возьмем контур
	1	2		1-2-3-4, причем сторона l34 уходит в бесконечность.
I	4	3		1-2-3-4, причем сторона l34 уходит в бесконечность.
I	4	3			3		π	4	1	π = l12 B ,
				∫Bdl = l12B + ∫Bdl cos			π	+ ∫Bdl + ∫Bdl cos		π = l12 B ,
				l	2		2	3	4	2
				=0, т. к. участок l34 уходит в бесконечность
1		2	∑Iсцепл.сl = N12 I ,
1		2
	N12		Bl12 = µ0IN12	Bвцентре = µ0 I	N12	.
	N12		Bl12 = µ0IN12	Bвцентре = µ0 I	l12	.
					l12

Введем понятие плотности намотки:

n =	N12		.
	N12	Bв центре = µ0In
	l	Bв центре = µ0In
	l
	12
		III. Принцип суперпозиции. Формула Био-Савара-Лапласа

Магнитное поле будем рассчитывать так же, как определяли электростатическое поле.

Кулоновское поле

Магнитное поле

Аналогично, полное магнитное поле равно сумме

По принципу суперпозиции

полей, создаваемых малыми элементами с током

E = ∑∆Ei .

Idl.

Поле ∆Bi,

созданное этими токами, можно

В качестве элемента ∆E мы бра-

найти с помощью формулы Био-Савара-Лапласа.

ли поле, созданное малым заря-

Эта формула, так же как и закон Кулона, была

дом ∆q, находя ∆E из опытного

получена опытным путем.

закона Кулона.

B = ∑∆Bi ;

∆Bi =

µ0 I

[dliri ]

– формула Био-

∆qi

4π

3

∆E

i

=

,

ri

4πε

0

r 2

i

Савара-Лапласа (эксперимент, опытный факт).

∆qi

вращать буравчик от ∆l к r

ri

∆Ei

I

( – вектор ∆Bi направлен от

∆li

r i

нас, ~ – на нас.)

Пример. Магнитное поле на оси

I[dl r]

кругового тока

dl

r

dBi

dB =

µ

0

, B

= ∑∆Bi ,

4π

r

3

R

α

I

α

µ0

Idlr sin 90o

µ0 Idl

x

x dB =

dBx

r3

=

4πr 2 ,

4π

dBx = dBsinα = dB

R

= µ0 IdlR

,

r

4πr3

Bx =

∫

µ0 IRdl3

=

µ0

IR

1

∫dl =

µ0

IR

2πR .

4π

3

поконтуру

4πr

r

поконтуру

4π r

r = R2 + x2 , где x – координата точки, в которой определяется B.

Bx =	µ	0	I 2πR2	; πR2 = S, SI = Pm. Тогда формулу можно представить в виде
Bx =	4π		(R2 + x2 )3 2	; πR2 = S, SI = Pm. Тогда формулу можно представить в виде
	4π		(R2 + x2 )3 2

Bx =	µ0		2Pm	. Здесь Pm – магнитный момент контура с током.
Bx =	4π		(R2 + x2 )3 2	. Здесь Pm – магнитный момент контура с током.
	4π		(R2 + x2 )3 2

Если x >> R, то B ~ x13 .

Согласно гипотезе Ампера поле магнита создано микротоками, циркулирующими в пределах объема молекул. Тогда зависимость B(x) для магнита будет иметь такой же характер, как и аналогичная зависимость для кругового тока. Следовательно, поле постоянного магнита должно убывать очень быстро.

железо	Bix	B ~	1	.

	Bi		x3

В целом мы видим, что магнитный момент контура с током является очень важной характеристикой, так как Pm определяет:

	Pm
1. Механический момент, действующий	Собственное магнитное поле контура с
на контур с током.	током.

2.Силу, втягивающую контур с током в неоднородном магнитном поле.

§ 3. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Пусть прямолинейный проводник длиной l с током I движется в магнитном поле. Разложим вектор B на три составляющие, одна из которых параллельна току (B||), другая параллельна оси x (Bx), вдоль которой движется проводник, а третья перпендикулярна плоскости движения проводника (B ). Найдем, под действием какой из этих составляющих проводник сможет двигаться вдоль оси x.

				B		B = B\|\| + Bx + B .
				I		B\|\| параллельно току I B перпендикулярно плоскости
	l			I
	l					в проводнике l		движения проводника
I		∆x				x
							B
	I			B\|\|		I Bx	l	I
	I							Fx
						FА		Fx
FА = 0						FА
FА = 0
B\|\| не создает силы. Bx прижимает							Fx = IlB
				проводник вниз.			Только B заставляет
							проводник двигаться вдоль оси x.
Тогда работа по перемещению проводника с током на расстояние ∆x будет равна
∆A = Fx∆x = IB l∆x = IB ∆S.
				= ∆S		= ∆Φ
∆A = I∆Φ, где ∆Φ – магнитный поток, ометаемый при перемещении проводника.

				кон.
		,	A = ∫IdΦ		.
dA = IdΦ

				нач.
Для						проводника произвольной формы аналогично получим:
B				Φ		A = IΦ, Φ – поток вектора B через поверхность, очерчиваемую
	I			Φ		проводником в процессе движения.
	нач.			кон.		проводником в процессе движения.
	нач.			кон.		Движение контура с током в магнитном поле

Возьмем замкнутый проводник произвольной формы и поместим его в магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости движения проводника (другие составляющие вектора B не могут заставить проводник двигаться). Разобьем контур на два участка – l1 и l2. Тогда работа по перемещению контура в целом будет равна сумме

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: