Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 813-817 | База студенческих работ

d

+Q

–Q

CU

2

εε

S

εε0 SE

2

d

2

εε0 E

2

W =

C =

0

Sd .

–Q

=

d

=

2d

=

2

+Q

S

U = Ed

E

= V – объем поля

Введем понятие плотности энергии:

W =

εε

0

E

2

V . w =

W

– для однородного поля.

2

V

w =

εε

0

E2

– объемная плотность энергии для изотропной среды.

2

D = εε0E, Плотность энергии:

w =

(DE)

– для любой среды.

2

w =

dW

. W = ∫wdV = ∫

(DE)

dV .

2

dV

V

Пример. Энергия поля между двумя сферами с зарядами Q и –Q

dr

–Q

Q

0, еслиr < R1

+Q

, если R1

< r < R2 . Все

Из т. Остроградского-Гаусса

E =

4πεε

0 r 2

Ri

R2

0, еслиr > R2

dV

поле находится между сферами.

εε

E 2

R2

εε

Q2

R2

dr

Wмеждусферами

= ∫

0

dV = {dV = 4πr 2 dr}= ∫

0

4πr 2 dr =

∫

=

2

4

2 4πεε0

r

2

V

R 2(4π ) (εε

0

)

r 2

R

1

=

Q2

−

1

R2

=

Q2

R −

R

2

1

.

2 4πεε0

r

R

2 4πεε0

R1R2

1

Эту формулу можно переписать иначе: C =

Q2

=

2C .

2

4πεε0 R1R2

R −

R

2

1

Cсфер =

4πεε0 R1R2

.

R2 − R1

ГЛАВА III. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Запишем уравнения Максвелла:

∫Edl = −∫∂B dS ,
l	S ∂t
∫Hdl = ∫∂D dS +		∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl ,
l	S ∂t

∫DdS = ∑Qохвачсвобод. S. ,

S

∫BdS = 0 .

S

Создадим условия, когда отсутствует электрическое поле.

Электрическое поле порождается зарядами (III) и переменным магнитным полем (I).

Пусть		∑Q = 0	. Тогда из четырех уравнений останутся два.
	B = const вовремени
Для магнитной компоненты:
∫Hdl = ∑I макротоков, сцепленныхсконтуромl
l		∫BdS = 0	. Для вакуума B = µ0H.

		S

1.Постоянное магнитное поле порождается движущимися зарядами, т. е. токами.

2.Это поле не потенциально, оно соленоидальное (вихревое).

§ 1. Взаимодействие магнитного поля с движущимися зарядами, проводником с током и контуром с током

I. Сила Лоренца

Возьмем за основу взаимодействие магнитного поля с движущимся зарядом.

Из опыта fЛ = q[vB].

fЛ	fЛ = qvB sin(v, B),
B	v fЛ = fmax, если α =	π	,
q α	v fЛ = fmax, если α =	2	,

fmax = qvB. Отсюда можно ввести понятие вектора B.

B = fqvmax . Вектор индукции B численно равен отношению максимальной силы, дейст-

вующей на движущийся заряд, к величине этого заряда и к скорости его движения.

	II. Сила Ампера
dNзарядов	Зная выражение для силы Лоренца, можно получить формулу
	для силы, действующий на проводник с током. Рассмотрим уча-
v	S сток проводника с током длиной dl.
dl	dl = vdt.
	dl = vdt.

Внутри цилиндра будет находится заряд, равный

δQ = qdN.

Здесь q – заряд носителей тока.

Будем считать, что на совокупность δN зарядов будет действовать сила в δN раз большая, чем на один заряд.

δF	= f	Л	δN = q[vB]dN = qdN		dl	B	= δQ [dl B]= [Idl B].

А							dt
				dt

= I

Таким образом, мы получим формулы для силы Ампера, которая была исторически получена опытным путем.

δFА = I[dl B] – из опыта.

dFА

B

I

Отсюда

dFА = IdlB sin(dl, B).

Зная формулу Ампера, можно получить еще одно определение вектора B:

dFА = dFmax при α = π2 , dFmax = Idl B.

B = dFIdlmax . Индукция магнитного поля – силовая характеристика поля, численно равная

отношению максимальной силы, действующей на проводник с током, к величине проводника и к силе тока в нем.

		III. Рамка с током в магнитном поле
F12 2	n		Поместим прямоугольную рамку с током в однородное маг-
			нитное поле. На стороны рамки будут действовать 4 силы.
1		F23
	3		F14, F23 – растягивают рамку;

			F12, F34 – разворачивают рамку.
F14 4	F34
			Под действием этих двух сил рамка начнет разворачиваться.

Найдем вращающий момент силы.

F12	n		Момент силы:
1 (2)	n					π l
1 (2)			M = F	h = Il	B sin	π l	sinα = Il l B sin(nB),
α	α	B	12	12		2 14	12 14
α	α	B				2 14
	ось
h	ось						= S – площадь
h	3 (4)						= S – площадь

Момент силы можно найти по следующей формуле, причем независимо от формы рамки:

M = ISрамкиB sin(nB).

		Магнитный момент рамки с током:
I	S	n Pm = ISn, \|n\| = 1.
		Магнитный момент равен произведению тока в рамке на площадь этой

рамки и на единичный вектор нормали n, причем направление вектора n определяется правилом буравчика.

Тогда механический момент сил: M = PmB sin(PmB).

M = [PmB].

Работа по вращению рамки в магнитном поле:

dA = Mdα = PmB sin α dα, отсюда A = ∫dA , A = – PmB cos α.

Т. к. работа есть мера изменения энергии, для энергии рамки с током в магнитном поле можно записать формулу:

W = –(PmB).

В электростатике было введено понятие дипольного момента (электрический момент диполя). Сравним формулу, по которой можно найти момент силы, действующей на диполь в электрическом поле, с формулой момента силы, действующего на рамку с током в магнитном поле.

		Электростатика				Магнетизм
		Электростатика
–q	l				I	n
	l	+q			S
		+q			S
Дипольный момент: Pe = ql.					Магнитный момент: Pm = ISn.
M = [PeE].					Магнитный момент: Pm = ISn.
M = [PeE].					M = [PmB].
W = – PeE.					M = [PmB].
W = – PeE.
		Pm	Зная, как магнитное поле	действует на рамку с током, можно ввести
			Зная, как магнитное поле	действует на рамку с током, можно ввести
			третье определение вектора B
		B	третье определение вектора B
			M = PmB sin α,

B =	M max	. Вектор B численно равен максимальному моменту сил, действующих на
B =	P
	P
	m

рамку с током, отнесенному к ее магнитному моменту.

B =	fmax	; B =	dFmax	; B =	M max	.
	qv				P
			idl
					m

Все три определения эквивалентны. Они дают численное значение вектора. Его направление определяется ориентацией магнитной стрелки.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: