Документ: МЭИ(ТУ) Физика, страницы 791-795 | База студенческих работ

∑Qохвач.S

E

E dS

		Поверхностная плотность заряда σ =			dQ	.
E
					dS
dS			Q
E	x	(σ =		– равномерно заряженная поверхность.)
dS			S

симметрично

расположенный

цилиндр

В качестве поверхности Гаусса мысленно выберем симметрично расположенный цилиндр. Силовые линии, которые перпендикулярны заряженной плоскости, будут скользить по внутренней поверхности цилиндра. Поток вектора E будет создаваться через торцевые поверхности цилиндра.

Запишем теорему Гаусса:

∫EdS =	∑Qохвач. S		.
∫EdS =	ε0		.
S	ε0
Распишем левую часть этого равенства:
∫EdS =	∫EdS +				∫EdS +	∫EdS =	∫EdS cos	π	+	∫EdS cos 0 +
S	Sбоковойповерхности			Sлевой	поверхностторцевойи Sправой	поверхностторцевойи Sбоковой поверхности		2	Sлевой	поверхностторцевойи
+	∫EdS	cos0 = {т. к. E = const впределахSторца					}= Eлев		∫dS	+
Sправой	поверхностторцевойи						Sлевой		поверхностторцевойи
+ E прав	∫dS			= {Всилу симметричного выбора поверхностиS E лев = E прав }=
S левой		поверхностторцевойи

= 2ES торца .

Правую часть этого равенства можно представить в виде:

=σSторца .

Сравнивая левую и правую часть, получим:

∫EdS =	∑Qохвач. S				.
			ε0
S
2ESторца	=		σSторца	.

			ε
		0

E = 2σε0 . Это и есть поле равномерно заряженной большой плоскости. Поле однородно,

модуль и направление вектора E не зависит от расстояния до плоскости.

2. Расчет E методом суперпозиции

Q1	q0	F2	Из опыта следует, что Fрезульт. = F1 +F2.

		Fрез		Fрез		F		F
Q2									E рез = ∑Ei .
		F1			=	1	+	2
				q0		q0		q0

Результирующее поле равно векторной сумме полей, созданных каждым зарядом в отдельности.

Пример. Поле двух плоскостей.
Каждая плоскость создает однородное поле E =	σ	.

+σ –σ	2ε0

← ← → → →E1 – поле первой плоскости.

→ → → ← ← E2 – поле второй плоскости.

E

внепластин

=

E − E

2

=

σ

−

σ

= 0 ,

1

2ε0

E

внутрипластин

= E + E

2

=

σ

+

σ

=

σ

.

1

2ε0

ε0

0 − внепластин

E= εσ − внутрипластин. Посмотреть пример в практике.

0

II.Энергетическая характеристика поля. Потенциал φ

Первое уравнение Максвелла: ∫Edl = 0 .

l

Циркуляция вектора E по замкнутому контуру l равна нулю.

Умножим на q: ∫qEdl = 0 ∫Fdl = 0 .

l = F

l

Работа сил поля по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Это есть критерий потенциальности электростатического поля. Следовательно, заряд, помещенный в данную точку поля, обладает потенциальной энергией:

Wпот = f(q0, поля).

Wпот – характеристика и поля, и заряда q0. Разделим на q0.

Wпот не зависит от q0 и является характеристикой поля, ее называют потенциалом. q0

Потенциал поля в точке 1: ϕт.1 = Wпот . q0

Обратная формула: Wпот = φ'q0.

Потенциал равен отношению Wпот, которой обладает пробный заряд в данной точке поля, к величине этого заряда.

Т. к. Wпот = Aсил поля, то		Aсилполя
	ϕт.1 =	1в източкинул. знач. потенциалаточку	.
		q0

Потенциал численно равен работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в точку, условно принятую за нулевое значение потенциала.

Aсилполя

Разность потенциалов: ϕ1 −ϕ2 = т. 1 2 т. q0

III. Связь между E и φ

1. Интегральная форма связи

т. нул.потенциала

A

силполя

∫Fdl

т. нул.потенциала

F

т. нул.потенциала

ϕт.1

=

1в източкинул.знач.потенциалаточку

=

т.1

=

∫

dl =

∫Edl .

q0

т.1

т. нул.потенциала

ϕт.1

=

∫E l d

.

т.1

т. 2

Разность потенциалов:

ϕ1 −ϕ2

= ∫Edl

.

т.1

E

∆l

т. 1 т. 2

E

1 α 2 ∆l

2. Дифференциальная форма связи Если ∆l мало, то φ1 – φ2 = E∆l.

Приращение потенциала ∆φ = φ2 – φ2 = –( φ1 – φ2)= – E∆l.

Работа совершается за счет убыли Wпот.

∆φ = – E∆l cos α = –(E cos α)∆l = –El∆l,

∆φ = –E	∆l	E	l	= − ∆ϕ	.
l			l	∆l
				∆l

∆l → 0 El = − ∂∂ϕl .

Проекцию вектора E на некоторое направление l можно найти как частную производную потенциала вдоль этого направления.

Если есть система координат, то проекция E на ось x:

Ex = − ∂∂ϕx .

Соответственно Ey = − ∂∂ϕy и Ez = − ∂∂ϕz .

Зная проекции Ex, Ey и Ez, можно найти поле E. По проекциям восстановим вектор E:

z

k

j

i y x

E = −i ∂∂ϕx − j ∂∂ϕy −k ∂∂ϕz .

Краткая запись: E = –grad φ – дифференциальная форма связи вектора E и потенциала

φ.

E

Эквипотенциальные поверхности

E эквипотенциальным поверхностям.

	IV. Методы расчета потенциала
1. Используя	уравнение 2. По известному значению E 3. Метод	суперпозиций:
Максвелла	ϕ = ∑ϕi

1. Расчет φ с использованием уравнения Максвелла

	∫EdS =	∑Qохвачен. поверхност ьюS
	∫EdS =	ε0
	S	ε0

divE =	ρ			ρ


	ε		div gradϕ = −
		0		ε0

E = −gradϕ

эквивалент но			ρ
↔	div E =		ρ
			ε0
	дивергенция
		∂Ex +	∂E	y		∂Ez
				y	+
					+
		∂x	∂y			∂z
		∂x	∂y			∂z

.

ε0

Уравнение Пуассона:	∂2ϕ	+	∂2ϕ	+	∂2 z	= −	ρ		.
	∂x2		∂y2		∂z2		ε0

В принципе мы могли бы и не вводить силовые характеристики поля, а ограничиться другими характеристиками, такими как потенциал φ для электрической компоненты и векторный потенциал A для магнитной компоненты поля.

Скалярные характеристики:

φ

E = –grad φ

Электромагнитное

A

B = rot A

поле

2. Расчет φ по известному значению E

Потенциал можно найти, используя интегральную форму связи между E и φ.

Aсилполя

т. нул.потенциала

ϕт.1

=

1в източкинул.знач.потенциалаточку

=

∫E l d.

q0

т.1

Пример: Потенциал точечного заряда.

E =

Q

. Пусть φ(∞) = 0 – точка нулевого значения потенциала.

4πε0 r 2

∞

Q

r

dr

ϕт.1 = ∫Edl = ∫Edr cos(Edr)= ∫Edr = ∫

dr =

4πε0 r

2

r

Q

1

∞

= 1

= 0 +

Q

.

=

−

4πε0

r

4πε

0 r

r

ϕточ. зар. =

Q

.

4πε0 r

3. Расчет φ методом суперпозиций

Q1

q0

E2

Имеем n зарядов. Результирующее поле в произвольной точ-

EΣ

ке:

Q2

E1

E∑ = E1 + E2 +K+ En .

Потенциал в этой точке:

т. нул.потенциала

ϕт.1

=

∫E∑ dl =

∫(∑Eidl)= {поменяемместамиоперацииинтегрирования

т.1

исуммирования}

т. нул.потенциала

= ∑

∫Ei dl = ∑ϕi .

т.1

ϕ = ∑ϕi – потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциа-

лов, созданных каждым зарядом в отдельности.

Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Смотрите также: