Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Гипотеза Максвелла: так как электрическое поле порождается переменным магнитным полем, то должен быть и обратный эффект: переменное электрическое поле должно порождать магнитное поле.

Переменное электрическое поле Максвелл назвал током смещения. Единственное, что роднит ток смещения и ток проводимости – то, что оба они создают магнитное поле.

Иллюстрация гипотезы Максвелла Рассмотрим конденсатор, на обкладках которого имеется заряд Q.

σ (сигма) – поверхностная плотность заряда.

Iпроводимости

Q на обкладке = σS.

= σ ,

E ε0 , D = σ.

D = ε0 E

Вектор смещения D по модулю равен плотности зарядов σ.

Если конденсатор находится в цепи постоянного тока, то он представляет собой разрыв цепи и ток в этом случае отсутствует. В цепи переменного тока, несмотря на имеющийся разрыв, ток есть.

Тока в цепи нет. Ток есть.

Формально можно считать. что электрическое поле как бы замкнуло обкладки конденсатора. Появилась непрерывная линия тока.

∆q

= {∆q

= ∆Q

∆Q

∆(σS )

= S

∆σ

= {σ = D}=

∆t

провод

черезсечениепроводника

на обкладках конденсатора

= S

∆D

– ток, текущий между обкладками.

∆t

Iпровод

= S

∆D

∆t

Итак, мы формально замкнули ток проводимости Iпровод равным ему по величине током смещения S ∆∆Dt . Разделив полученное выражение на площадь S, получим плотность тока смещения:

∂D	I	= j .
∂t	=

	S

Плотность тока смещения: jсмещ = ∂∂D . t

Ток смещения, так же как и ток проводимости, создает магнитное поле B.

I		∂D ≠ 0

B
		∂t

B	jсмещ

jсмещ

Вернемся к закону полного тока:

∫Bdl = µ0 (∑Iпровод + ∑Iсмещ ). Здесь мы учли, что магнитное поле создается обоими то-

l
ками.
Так как Iсмещ = ∫jdS = ∫			∂D	dS , а H =	B	, то окончательно получим
Так как Iсмещ = ∫jdS = ∫				dS , а H =	µ0	, то окончательно получим
	S	S ∂t			µ0
							– II уравнение Максвелла.
∫Hdl = ∫∂D dS + ∑Iпровод., сцепленныхсконтуромl							– II уравнение Максвелла.
l	S ∂t

Это уравнение показывает, что магнитное поле создается переменным электрическим полем и токами проводимости.

V.Уравнения Максвелла в интегральной форме

1.∫Edl = −∫∂∂Bt dS .

l S

Переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле.

2. ∫Hdl = ∫∂D dS + ∑Iпровод.
l	S ∂t

Магнитное поле порождается переменным электрическим полем и токами проводимости.

3.		d =	Q D S	.
	∫	∑	своб.
	∫	∑	охвачен.поверхностью S

4. ∫BdS =0 .

К этим уравнениям следует добавить уравнения, характеризующие свойства среды: Для изотропной среды: D = εε0E, B = µµ0H.

j = λE – закон Ома, где λ = ρ1 – удельная проводимость.

VI. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

1. rot E = − ∂∂Bt (rot – ротор).

2. rot H =	∂D	+ jпроводим. .
	∂t

3.div D = ρ, где ρ – объемная плотность заряда.

4.div B = 0 (div – дивергенция).

§ 4. Постоянное электромагнитное поле

E = const, B = const – не зависят от времени. Тогда система уравнений Максвелла распадается на две группы.

	∂D	= 0 ;	∂B	= 0 .
	∂t	= 0 ;		= 0 .
	∂t		∂t
∫Edl = 0 ,					∫Hdl = ∑I сцепленныхсконтуромl ,
∫Edl = 0 ,					∫Hdl = ∑I сцепленныхсконтуромl ,
	l				l
∫DdS =∑Qохвач. S .					∫BdS =0 .
	S				S
Из этих уравнений следует, что:					Из этих уравнений следует, что:
1. Постоянное электрическое поле по-					1.	Постоянное магнитное соленоидаль-
		тенциально.				но (вихревое поле).
2.		Источник поля – заряды.			2.	В природе нет магнитных зарядов.

Примеры расчета полей

Поле заряженной нити

Линейная плотность заряда

τ = ∆∆Ql .

∆l	r	∫EdS =	∑Q	,
			ε0
		S		= 0
		∫EdS = 2		∫EdS +

Sторцевая поверхност ь

+∫EdS = 2πr∆lE ,

боковая поверхност ь

2πr∆lE = τ∆l ,

ε0

E =	τ	.
	2πε0 r

Поле прямолинейного тока

I	∫(Bdl)= µ0 ∑Iсцепл. сl ,
	l

rB2πr = µ0I, B = µ2π0 rI .

§ 5. Электромагнитное взаимодействие и его проявление в различных системах отсчета

Цель: Взаимодействие заряженных тел с точки зрения двух наблюдателей: неподвижного и движущегося.

Рассмотрим взаимодействие двух зарядов – точечного заряда q и длинной нити, заряженной с линейной плотностью τ. Заряд q и нить неподвижны друг относительно друга.

q	Нить, заряженная с линейной плотностью τ0, и заряд q (выполняет
r	роль пробного заряда)

Сточки зрения наблюдателя A' (левый рисунок), неподвижного относительно системы зарядов, на точечный заряд действует только электрическое поле, созданное нитью.

Сточки же зрения наблюдателя A (правый рисунок) кроме электрической компоненты появляется магнитная компонента взаимодействия, так как по отношению к наблюдателю A заряженная нить, движущаяся со скоростью v, представляет собой электрический ток, создающий магнитное поле. Это поле и должно действовать на движущийся заряд q.

Откуда появилось это поле?

y'		q
A'	r	τ0
	r	τ0
		∆Q
		x'
		∆l0

Неподвижная система отсчета

Здесь все заряды неподвижны и на заряд q действует только электрическая составляющая взаимодействия, которая определяется силой F1, не зависящей от скорости.

F0 = F10(q, поле ∆Q),

F0 = qE0.

q	v

I=τv

∆l

Движущаяся система отсчета

Здесь заряды движутся относительно наблюдателя A и поэтому присутствуют две компоненты силы – F1 и F2, зависящая от скорости. Эту составляющую силы и нужно найти.

F = F1 (q, поле ∆Q) + F2 (q, v, поле ∆Q).

Классическая механика:

Значение вектора E можно найти из теоремы Гаусса:

∫EdS =	∑Q	,
	ε0
S

E2πr∆l0 = ∆Q ,

ε0

τ= ∆Q , ∆l0

E0	=	τ0					,
		2πε		0 r


F	= qE		0	=	qτ0			.

0						2πε0 r

С точки зрения классической механики сила F2 должна быть равна нулю, т. к. относительно преобразований Галилея сила – это инвариантная величина.

Преобразования Галилея:

F0	= F	F2	= 0 .
F10
	= F1

Теория относительности:

Преобразования Лоренца:

Относительно преобразований Лоренца сила не инвариантна. Поэтому F0 ≠ F. Связь между силой F (силой, которую фиксирует наблюдатель A) и силой F0 (см. левую колонку) дается формулой:

F = F0 1− v2 c2 .

Если мы сможем найти силу F1, то, зная силу F, найдем и интересующую нас силу F2, которая будет равна F2 = F – F1.

Пусть F1 = qE. Как найти E?

Из уравнений Максвелла они справедливы и для движущихся систем отсчета.

Заряды инвариантны.

∆Q

Теорема Гаусса справедлива в любой системе отсчета:

∫EdS =	∑Q	.
	ε0
S

та же поверхность, что и для наблюдателя

A'		= ∆Q
	∑Q ;				∆Q .
E2πr∆l =		E =	τ	, где τ =
E2πr∆l =		E =	2πε0 r	, где τ =
	ε0		2πε0 r		∆l

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: