Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

По этой формуле можно найти поток вектора E через поверхность любой формы.

Для электрического поля:		Для магнитного поля:
ΦE = ∫EdS – поток вектора напряжен-		ΦB = ∫BdS – поток вектора магнитной
S		S
ности электрического поля.		индукции.
Если поверхность замкнута, то можно ввести		понятие:
Если поверхность замкнута, то можно ввести		понятие:
шар	поток вектора через замкнутую поверхность:
шар	Φ = ∫EdS .
	Φ = ∫EdS .
	S

Кружочек у интеграла означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности. При этом под вектором dS подразумевается вектор, направленный вдоль внешней нормали.

II.Циркуляция вектора

Вмеханике работа ∆A = F∆r. Если сила переменная, то работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2 будет равна:

1	2
	2 A = ∫(Fdr).
	1

Если же, выйдя из точки 1, мы вновь возвращаемся в эту же точку, то можно говорить о работе силы F по замкнутому контуру l.

1	A = ∫(Fdr) – интегралы такого типа называется циркуляцией век-
2	l
l	тора F.
Замкнутый контур	тора F.
По аналогии можно ввести понятия циркуляции вектора E и вектора B.
Циркуляция вектора напряженности		Циркуляция вектора
Циркуляция вектора напряженности		Циркуляция вектора
электрического поля:		магнитной индукции:
ΓE = ∫(Edl)		ΓB = ∫(Bdl)
	l	l

§ 3. Уравнения Максвелла как математическая модель электромагнитного поля

I. Третье уравнение Максвелла

Как известно, законы динамики не выводятся, они постулируются. Эти законы являются обобщением опытных данных. Точно так же и уравнения Максвелла, описывающие поведение электромагнитного поля, могут быть получены как обобщение экспериментальных данных. Нужно просто из огромного массива опытных данных вычленить фундаментальные законы. Одним из них, несомненно, является закон Кулона.

	Qq0		F		Q
Закон Кулона: F =		; E =		E =		.
	4πε0 r 2		q0		4πε0 r 2

Окружим заряд Q двумя концентрическими поверхностями и подсчитаем поток вектора E через каждую из этих поверхностей. Так как силовые линии перпендикулярны поверхности, то поток вектора E через сферу будет равен произведению E на площадь сферы.

∫(EdS) ES1 =	Q	2 4πr12 =	Q .
S	4πε0 r1		ε0
1

Для второй поверхности получим аналогично:

∫(EdS) ES2 =	Q	2 4πr22 =	Q .
S2	4πε0 r2		ε0

Итак, поток вектора E не зависит от радиуса сферы и полностью определяется только зарядом, находящимся внутри сферы. Так как силовые линии непрерывны, то можно утверждать, что поток вектора E через поверхность произвольной формы S, лежащую между сферами, равен потоку через эти сферы, т. е. поток через

произвольную поверхность:

∫EdS =	Q	.
S	ε0

Рассмотрим случай, когда заряд лежит вне поверхности

∫(EdS)= 0 , так как число силовых линий, вошедших в поверхность, равно числу ли-

ний, вышедших из нее.

Если имеются заряды Q1, Q2, Q3 и т. д., то каждый из них создает поток Φ1, Φ2, Φ3 и т. д. Тогда полный поток будет равен сумме потоков:

∫E1dS =	Q	1
∫E1dS =		1
S	ε0
∫E2 dS =	Q	2	"+" Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3.
∫E2 dS =		2	"+" Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3.
S	ε0
∫E3 dS = 0

S

После суммирования для полного потока, пронизывающего произвольную поверхность S, получим следующую формулу:


∫EdS =		∑Qохвачен.поверхностьюS		– теорема Остроградского-Гаусса.
			ε0
S
Если учесть, что ε0E = D, получим

∫	d =	∑	своб.	– третье уравнение Максвелла.
			Q D S
			охвачен.поверхностью S
S

Поток вектора смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью.

II. Четвертое уравнение Максвелла

Аналогичное соотношение можно записать для вектора B, характеризующего магнитную составляющую поля. Однако, т. к. в природе нет магнитных зарядов, то

∑Qмагн = 0 и, следовательно, поток вектора B через замкнутую поверхность также ра-

вен нулю.

∫BdS = µ0 ∑Qмагн.. = 0 , т. к. магнитных зарядов в природе нет.

охвач пверхностью S

∫BdS =0 – четвертое уравнение Максвелла.

Из этого уравнения также следует, что силовые линии магнитного поля замкнуты.

III. Первое уравнение Максвелла

1831 г. – Фарадей открыл явление электромагнитной индукции. Это одно из важнейших открытий в области электричества.

E инд = − ddtΦ .

Попытаемся преобразовать это уравнение так же, как мы это сделали с законом Кулона.

Что такое ЭДС? E –				A стор. сил
	работа сторонних сил. По определению E =				.
	работа сторонних сил. По определению E =				.
				q0
Aстор. сил = ∫Fdl ; E =	A = ∫	F ∆l = ∫Eстор. сил dl .
l	q0 l	q0	l

Итак, ЭДС индукции можно представить как циркуляцию вектора E по замкнутому контуру. Откуда в контуре возникли сторонние силы? Посмотрим, как понимали Фарадей и Максвелл явление электромагнитной индукции.

B l

iинд
Фарадей	Максвелл
Явление электромагнитной индукции – это	Любое переменное магнитное поле поро-
возникновение индукционного тока при	ждает вихревое электрическое поле.
изменении Φ.

Согласно Максвеллу переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, это поле подхватывает заряды и заставляет их двигаться по контуру. Следовательно, роль сторонних сил играет вихревое электрическое поле, оно и создает ЭДС

индукции. Поэтому Eстор. сил = Eвихр. электр. поля.

∂∂Bt ≠ 0 .

Eвихр. электр. поля

В результате ЭДС индукции можно выразить через циркуляцию вектора

Eвихр.

E инд = ∫Eстор. сил dl{Eстор. сил	= E вихр. электр. поля }= ∫E вихр. dl ,
l	l

Так как циркуляция напряженности кулоновского поля равна нулю (это признак потенциальности поля), то взяв в предыдущей формуле вместо вектора Eвихр вектор E, равный сумме кулоновского и вихревого поля, мы ничего не изменим в этом интеграле.

		, E = Eкул. +Eвихр. добавление интеграла Eкул. ничего не изменит.
∫Eкул.dl = 0
l

Рассмотрим теперь правую часть уравнения Фарадея.


dΦ	?	S l	Φ = ∫BdS	dS	– разбив на малые участочки.
dt	?		Φ = ∫BdS	dS	– разбив на малые участочки.
dt			S

dΦ	=	d	∫BdS = ∫∂B dS .
	=		∫BdS = ∫∂B dS .
dt		dt	S	S ∂t

частная производная (учитываем только изменение по времени) В результате исходное уравнение для ЭДС индукции мы привели к виду:

E инд	= −	dΦ		.

		dt
∫Edl = −∫∂B dS					– первое уравнение Максвелла.
l		S	∂t

	S		l

Циркуляция вектора E по произвольному замкнутому контуру l равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром.

Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

IV. Второе уравнение Максвелла. Токи смещения

Из опытов Эрстеда следует, что магнитное поле порождается электрическим током, т. е. движущимися зарядами. Используя опытный закон Био-Савара-Лапласа, можно, в частности, показать, что магнитная индукция длинного прямолинейного проводника с

током находится по формуле B = µ2π0 rI . Силовые линии магнитного поля, созданного

этим током, представляют собой концентрический окружности. Рассмотрим циркуляцию вектора B по одной из таких окружностей.

I ∫Bdl ~ B2πr,

Подставив вместо B его абсолютное значение B = µ2π0 rI , получим, что

независимо от радиуса окружности

B12πr1 = B22πr2 = const = µ0I.

Таким образом, из эксперимента (из закона Био-Савара-Лапласа) следует, что:

∫Bdl = µ0 ∑Iсцепленных с контуром l – закон полного тока. l

Магнитное поле порождается токами проводимости. Но оказывается, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: