Материал: МЭИ(ТУ) Физика

носительно оси, проходящей через центр масс (для однородного шара совпадающей с геометрической осью). Если шар радиуса R движется по плоскости без проскальзывания, то скорость центра масс vC связана с угловой скоростью ω вращательного движе-

ния соотношением vC = ωR, где R – радиус шара, ускорение центра масс в этом случае равно aC = εR, где ε – угловое ускорение.

Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны пластины на шар. Эти силы сводятся к силе нормального давления N и к касательной силе Fтр. При отсутствии скольжения сила Fтр есть сила трения сцепления (сила трения покоя). Сила трения покоя Fтр не изменяет механическую энергию. Однако, при качении шара без проскальзывания всегда имеет место сила трения качения, связанная с потерями механической, энергии (переходом механической энергии в тепловую). При качении шар и плоскость деформируются под действием силы давления шара на плоскость, так как реальные тела не являются абсолютно твердыми. Силы, возникающие при этом, создают тормозящий момент, называемый моментом трения качения и направленный в сторону, противоположную моменту силы сцепления Fтр, обеспечивающему качение шара без проскальзывания.

Отношение этого момента трения Mтр к величине силы давления N, действующей

Для измерения fк необходимо выразить силу давления N и момент трения Mтр через величины, которые можно найти из опыта. Будем считать, что сила N направлена по нормали n к плоскости пластины, по которой происходит качение шара (рис. 2). Это справедливо для достаточно твердых материалов.

Рассмотрим колебания маятника с одновременным качением шарика по поверхности пластины. Если пластина отклонена от вертикали на угол γ, то сила давления N

Пусть маятник (шарик массы m на нити длиной l) в начальный момент времени отведен от положения равновесия на малый угол α0 (см. рис. 1). При этом шарик в на-

чальном положении приподнят относительно положения равновесия на расстояние h1 = l(1 – cos α0) (рис. 3а). Так как пластина отклонена от вертикали на угол γ, то высота подъёма шарика над нулевым уровнем потенциальной энергии (рис. 3б) равна

Рис. 3а Рис. 3б

Если шарик отпустить, он под действием силы тяжести вернется в начальное положе-

ние равновесия, пройдет его и отклонится на угол α01 , причем α01 < α0 , так как часть

потенциальной энергии маятника будет расходоваться на потенциальную энергию закручивания нити и на работу против сил трения качения. Под действием силы тяжести шарик снова вернется в положение равновесия, пройдёт его и отклонится на угол

α1 < α01 < α0 , что соответствует концу первого колебания. В этом положении его по-

тенциальная энергия равна Wп1 и определяется по формуле (3) для α1. Изменение потенциальной энергии шарика после первого колебания равно

где ∆Wкр = Wкр(α1) – Wкр(α0), Wкр(α1) – потенциальная энергия кручения нити в конце первого колебания, Wкр(α0) – потенциальная энергия кручения нити в начале первого колебания, Aтр – работа силы трения качения.

где D – жесткость упругой нити, φ – угол, на который закручивается шарик (вместе с нитью) при качении по образцу.

Работа силы трения за одно колебание равна

где Mтр – момент силы трения качения, ∑ϕ – сумма углов скручивания нити при каче-

нии шарика за время одного колебания.

Выразим угол φ через угол α. Очевидно, что если l – длина маятника, а r – радиус крутящегося шарика, то lα = rφ в отсутствие скольжения и угол φ пропорционален углу α, φ = lα/r. Тогда сумма углов кручения (взятых по модулю) за первое колебание равна

Работа силы трения за одно колебание с учетом (1), (2), (6), (7) равна

Можно показать, что изменение потенциальной энергии кручения, пропорциональной φ2 (формула (5)), пренебрежимо мало по сравнению с работой силы трения качения при повороте нити на угол α.

Полагая также, что α0 + 2α01 +α1 = 4α0 для изменения потенциальной энергии ша-

рика после первого колебания, имеем

С другой стороны, изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести равно

∆Wп (1)= mgl(1 − cosα1 )sin β − mgl(1 − cosα0 )sin β = mgl sin β(cosα0 − cosα1 ).

Учитывая, что cos α0 – cos α1 = –2 sin [(α0 + |α1|)/2] · sin [(α0 – |α1|)/2] ≈ – (α0 + |α1|) х х (α0 – |α1|)/2 ≈ –α0 (α0 – |α1|), так как α0 + |α1| ≈ 2α0, получим

Проведя аналогичные преобразования, получим формулу для n-го колебания для расчета fк:

где r – радиус шара, α0 – угол начального отклонения маятника, αn – угол отклонения маятника после n полных колебаний (рад), β – угол наклона плоскости маятника, отсчитанный по боковой шкале.

2. Порядок выполнения работы

1.Прикрепить шар на нерастяжимой нити, предварительно измерив его диаметр.

2.Наклонить плоскость маятника на угол β = 30°.

3.Включить установку в сеть, нажав клавишу СЕТЬ.

4.Отклонить шар от положения равновесия на угол α0 = 4-5° (указатель – на 4-5 делений по лицевой шкале прибора).

5.Нажать клавишу СБРОС. Индикатор числа колебаний должен показывать нуль. Отпустить шар.

6.Нажать клавишу СТОП после того, как индикатор покажет n – 1 колебание, при этом маятник совершит n полных колебаний, что будет зафиксировано индикатором. Записать в таблицу угол αn. Отсчет угла ведется по изображению нити в зеркале, укрепленном над шкалой отсчета. Опыт повторить 5 раз. (Число колебаний можно измерить

ивизуально, не включая индикатор.)

7.Повторить измерения для двух других значений углов β.

8.Провести измерения для других образцов – пластин или шаров (по указанию преподавателя).

Таблица

Материал: пластины – латунь, шара – латунь

3. Обработка результатов измерений

1.Вычислить коэффициенты трения качения по формуле (12) для различных материалов.

2.Найти погрешность измерений по формуле

3. Записать окончательный результат измерений

fк = fк ± ∆fк .

Контрольные вопросы

1.Как определяется в работе коэффициент трения качения?

2.Какие колебания совершает шарик?

3.Для чего в работе меняют угол наклона маятника β?

4.Каков характер движения шарика по образцу?

5.От чего зависит коэффициент трения качения?

6.Сформулировать закон сохранения полной механической энергии. Как он используется для вывода расчетной формулы?

7.Чему равна энергия кручения?