ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Введение
Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямом измерении значение измеряемой величины получают непосредственно в ходе измерения (например, измерения длины стержня линейкой), а при косвенном окончательный результат может быть получен только после проведения соответствующих расчетов (например, при измерении площа-
ди пластины придется воспользоваться формулой S = a b).
Используемые при измерениях технические средства, прошедшие необходимый контроль, называются средствами измерения, а величины, получаемые с их помощью,
принимаются как результат измерения.
Всякое измерение сопряжено с погрешностями, поэтому в результате измерений получают не истинное значение искомой величины, а значение, приближенное к нему настолько, что может быть использовано как действительное значение физической величины. Поэтому, в конечном итоге, мы можем лишь указать интервал – интервал достоверности (доверительный интервал), в пределах которого лежит измеряемая ве-
личина. Так, измеряя длину стержня с помощью штангенциркуля с точностью нониуса 0,1 мм, можно лишь указать, что истинное значение длины l лежит, например, в интер-
вале 13,4 ≤ l ≤ 13,6 мм, что и отражается в форме записи результата измерения:
l = (13,5 ± 0,1) мм.
Эта запись означает, что действительное значение длины стержня l = 13,5 мм, а истинное значение этой величины лежит в интервале 13,4 ÷ 13,6 мм.
Под погрешностью измерения понимается отклонение результата измерения от истинного значения. При этом различают абсолютную и относительную погрешность измерения.
Абсолютная погрешность – это величина, равная отклонению действительного значения от истинного значения измеряемой величины:
x = xдейств − xист .
Так как истинное значение неизвестно, то на практике можно дать лишь приближенное значение абсолютной погрешности.
Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины (которая, практически, заменяется ее действительным значением)
δ = ∆хх .
Очевидно, что именно относительная погрешность характеризует качество измерения, его точность. Эта величина безразмерна и часто выражается в процентах.
1. Классификация погрешностей прямых измерений
По характеру проявления в эксперименте различают систематическую погрешность, случайную погрешность и грубые промахи.
Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности изме-
рения, остающаяся постоянной (по величине и знаку) при повторных измерениях. В свою очередь, по источнику появления эти погрешности можно разбить на несколько групп.
Одна из них – это систематические погрешности, природа и величина которых известны (например, сдвиг нуля измерительного прибора), эти поправки могут быть определены до начала измерений и учтены в конечном результате. Примером этого типа погрешностей является также методическая погрешность. Она определяется недостатками выбранного метода измерения или неточностью расчетных формул. Так, если взвешивать тело на аналитических весах без введения поправки на потерю веса груза в воздухе, то появится ошибка взвешивания, которую можно классифицировать как методическую.
Другая группа систематических погрешностей – это погрешности, для которых известно их предельное значение, но неизвестен знак. К ним, в частности, относится инструментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибора, неточностью его изготовления. Величина этой погрешности определяется классом точности прибора, но знак ее неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания данного инструмента измерения с прибором более высокого класса точности). Инструмен-
тальную погрешность принято записывать со знаком ±, подчеркивая этим, что без дополнительных исследований мы не знаем знак отклонения от истинного значения.
Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Данная погрешность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т. д. Она проявляется при повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Ее можно уменьшить за счет увеличения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов измерений.
Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчетом, либо временной неисправностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешности легко исключить сравнением результатов измерений, проведенных в данной серии опытов.
Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематических погрешностей и грубых промахов необходимо представить в виде
x = xизм ± ∆x , P =K
Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, ∆х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т. е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале ± ∆х. Так если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных замеров результаты 95
измерений будут лежать в пределах указанного интервала достоверности ± ∆х.
2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюдениях
Систематическая погрешность измерения ∆х в общем случае складывается из инст-
рументальной погрешности ∆xинс, методической погрешности и погрешности считывания.
Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать ее предельным значением.
Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью. Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ± 0,05 мм. Однако, кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при из-
вестном навыке, может быть доведена до четверти деления, т.е. ± 0,25 мм. Тогда пре-
дельное значение погрешности будет порядка ± 0,3 мм. Учитывая, что указатели в лабораторных установках отстоят от поверхности линеек на несколько миллиметров, в
качестве предельной погрешности измерения будем брать величину, равную ± 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать 1 ÷ 2 мм). Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна
0,1 мм, то погрешность измерения принимается равной ± 0,1 мм.
Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, для ртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0 ÷ 100 °С при цене де-
ления 1 °С предельная инструментальная погрешность равна ± 2 °С.
Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры, вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибора
K= (∆x)инс 100% ,
хmax
где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.
Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах. В любом случае их предельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицы последнего разряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.
Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления на другое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с це-
ной наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешность равна ± 0,2 с.
3. Случайные погрешности
Проведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при одном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результаты будут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность. В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое численное значение, полученное в ходе такого эксперимента, будет являться случайной величиной. Случайные величины изучаются в математической статистике и с помощью этого раздела математики можно оценить как результат измерения, так и погрешность измерений.
Допустим, что мы провели большую серию из n измерений одной и той же величины. Из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения из этой серии х1, х2, х3, …, xn не одинаковы. Для наглядности представления разобьем весь диапазон измерен-
ных значений на равные интервалы ∆хi (причем ∆xi << x ). Найдем, сколько значений измеряемой величины попали в данный интервал ∆хi, и построим гистограмму (с греч.
– ступенчатая кривая), высота каждой ступеньки которой пропорциональна числу таких «попаданий» (рис. 1).
Рис. 1
Чем точнее проведены измерения, тем более узкой будет полученная кривая, и наоборот, при грубых измерениях кривая распределения будет более широкой, расплывчатой. Пунктирная кривая, изображенная на рис. 1, представляет собой функцию плотности вероятности распределения случайных величин хi. Эта функция позволяет с за-
данной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погрешности измерения.
Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всего лежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение из всех измерений.
Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величины нужно взять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будем называть просто средним значением)
х = х1 + х2 ... + хn . n
Так как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и оно тоже является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из n измерений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x . При расчетах следует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.
Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал, в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемой величины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть уже проведенных измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно, этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей (см. пунктирную кривую на рис. 1). В математической статистике эта ширина характеризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формуле
n
∑(x − xi )2
S = |
i=1 |
. |
n(n −1) |
(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)
Так как на практике проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равную