n
∑(x − xi )2
∆xсл = tP,n |
i=1 |
. |
|
n(n −1) |
|||
Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так и от доверительной вероятности P. Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.
Значения коэффициента Стьюдента можно найти по табл. 1.
Таблица 1.
P |
tP, 2 |
tP, 3 |
tP, 5 |
tP, 7 |
tP, 10 |
n = 2 |
n = 3 |
n = 5 |
n = 7 |
n = 10 |
|
0,9 |
6,314 |
2,920 |
2,132 |
1,943 |
1,833 |
0,95 |
12,706 |
4,303 |
2,776 |
2,447 |
2,262 |
0,99 |
63,667 |
9,925 |
4,604 |
3,707 |
3,250 |
4. Суммарная погрешность прямого измерения
Если мы определили предельную погрешность измерения ∆хинстр, связанную с использованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную погрешность ∆xсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения дается формулой
∆x = (∆xсл )2 + (∆хинс )2 .
При расчетах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трех значащих цифр.
Результат прямого измерения следует записать в следующей форме
х = х ± ∆х, Р = 0,95.
Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит от
х − ∆х до х + ∆х.
При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими прави-
лами округления:
1.Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до одной значащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление производят до двух значащих цифр.
2.Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.
3. При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменяются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, если ∆х = 1327, то следует записать ∆х = 13 102, если же ∆х = 851, то после округления получим
∆х = 9 102.)
4. Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то предыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу. В противном случае эта цифра не изменяется.
Например, если после расчетов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47; 0,064; 0,128; 342, то следует записать:
∆x1 = 0,5 ; ∆x2 = 0,06 ; ∆x3 = 0,13 ; ∆x4 = 3 102 .
Если при этом измеряемая величина равна 3,425; 12,8356; 9,025; 8395,7, то результат необходимо представить в форме:
x1 ± ∆x1 = 3,4 ± 0,5 ; Р = 0,95;
x2 ± ∆x2 =12,84 ± 0,06 ; Р = 0,95;
x3 ± ∆x3 = 9,03 ± 0,13; Р = 0,95;
x4 ± ∆x4 = (84 ± 3) 102 ; Р = 0,95.
5. Погрешности при косвенных измерениях
При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений (например, объем куба V = a3). Зная эту функциональную зависимость F = f(x) можно найти ее приращение при малом изменении аргумента:
dF = |
df |
dx . |
||
dx |
x=x |
|||
Приближенно считая, что dF ≈ ∆F, a dx ≈ ∆x, получим
∆F = |
df |
∆x , |
||
dx |
x=x |
|||
(например, для куба ∆V = 3a 2 ∆a ).
указывать в константах 5 значащих цифр, например π =3,1416; g = 9,8156 м/с2. Относительная погрешность констант в этом случае считается равной нулю.
Для справочных данных и для данных установки (если их погрешность не оговорена) погрешность составляет 5 единиц разряда, следующего после последней значащей цифры. Так, если на установке задан момент инерции маятника I0 = 0,12 кг м2, то ∆I0 = 0,005 кг м2.
Если в расчетах используются не все значащие цифры справочных данных, то в качестве погрешности этой величины берется погрешность округления. Очевидно, что значения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной погрешностью можно было пренебречь.
Так, число Авогадро NA = (6,022092 ± 0,000006) 1023 1/моль. Если взять
NA = 6,0 1023 1/моль, то погрешность ∆NA = 0,02 1023 1/моль, ее же относительная вели-
чина ∆N A = 0,003 , т. е. составит около 3%.
N A
6. Пример статистической обработки результатов измерений
Пусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измерили его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна 0,1 мм. Результаты измерений сведем в табл. 2.
Таблица 2
№ |
Di, мм |
∆Di, мм |
||||||
1 |
12,8 |
-0,22 |
||||||
2 |
12,6 |
-0,02 |
||||||
3 |
12,4 |
0,18 |
||||||
4 |
12,6 |
-0,02 |
||||||
5 |
12,5 |
0,08 |
||||||
Среднее |
12,58 |
— |
||||||
Среднее значение равно |
||||||||
5 |
||||||||
= |
∑Di |
= |
12,8 +12,6 +12,4 +12,6 +12,5 |
=12,580 мм. |
||||
D |
i=1 |
|||||||
5 |
5 |
|||||||
Зная D , найдем ∆Di = D − Di . Соответствующие данные занесены в табл. 2. Слу-
чайную погрешность найдем по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 и Р = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получим
n |
||||||||||||
∆Dсл = tP,n |
∑(∆Di )2 |
0,22 |
2 |
+ 0,02 |
2 |
+ 0,18 |
2 |
+ 0,02 |
2 |
+ 0,08 |
2 |
|
i=1 |
=2,776 |
= 0,1841 мм. |
||||||||||
n(n −1) |
5(5 − |
1) |
||||||||||
С учетом округления ∆Dсл = 0,18 мм.
Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальной погрешности средства измерения возьмем величину ∆Dинс = 0,1 мм.
В результате суммарная погрешность прямого измерения
∆D = ∆Dсл2 + ∆Dинс2 = 0,182 + 0,12 = 0,2059 мм
или с учетом округления ∆D = 0,21 мм.
Окончательный результат прямого измерения представим в виде
D = (12,58 ± 0,21)мм, Р = 0,95.
Длина окружности L = πD. Погрешность косвенного измерения
∆L = π 2 ∆D2 + D2 ∆π 2 ,
относительная погрешность этого измерения
∆L |
= |
∆D 2 |
∆π 2 |
||||||||||||||||||||||
L |
+ |
. |
|||||||||||||||||||||||
D |
π |
||||||||||||||||||||||||
Относительная погрешность при измерении диаметра |
|||||||||||||||||||||||||
∆D |
= |
0,21 |
= 0,017 . |
||||||||||||||||||||||
D |
12,58 |
||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
число π следует подобрать так, |
чтобы |
∆π |
<< |
∆D |
. Этому условию |
|||||||||||||||||||
π |
D |
||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет значение π = 3,14. При этом |
∆π |
= 0,00048 . Тогда |
|||||||||||||||||||||||
π |
|||||||||||||||||||||||||
= π |
= 3,14 12,58 = 39,5012 мм. |
||||||||||||||||||||||||
L |
D |
||||||||||||||||||||||||
Так как |
∆L |
≈ |
∆D |
= 0,017 , то ∆L = |
0,017 = 0,672 |
или |
с |
учетом округления |
|||||||||||||||||
L |
|||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||
L |
|||||||||||||||||||||||||
∆L = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в виде