Таблица 2
№ п/п |
n |
t1, c |
n |
l, см |
t2, с |
10 |
10 |
17 |
|||
10 |
16 |
||||
10 |
15 |
||||
10 |
14 |
||||
10 |
до l = 10 см |
||||
11.По результатам табл. 2 построить график t2(l) и найти l0 как координату точки пересечения прямой t1 и кривой t2(l) (рис. 5).
12.Установить расстояние l0 между точкой O и подвижным ножом (рис. 2).
13.Измерить время 50 полных колебаний t2′ (маятник
сначала закреплен на подвижном ноже) и t1′ |
(маятник за- |
Рис. 5 |
|||||||||
креплен на неподвижном ноже). Значения t1′ и t2′ |
записать в табл. 3. |
||||||||||
Таблица 3 |
|||||||||||
n = 50 |
t1′, c |
t2′ , c |
t |
′ |
= |
t1′ + t2′ |
, c |
T′, c |
g, м/с2 |
||
2 |
|||||||||||
14. Вычислить lпр как расстояние между ножами (см. рис. 2).
3. Обработка результатов измерений
I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. По формуле (3), зная t , найти T математического маятника.
2.По формуле (2) найти значение g для опыта с математическим маятником.
3.Вычислить предельное значение погрешности для t по обычным правилам.
4.Найти погрешность косвенных измерений g из формулы
∆g 2 |
∆π 2 |
∆l 2 |
∆T |
2 |
||||||||
= 4 |
+ |
+4 |
, |
|||||||||
g |
π |
l |
T |
|||||||||
где ∆T = ∆nt .
5. Записать окончательный результат g = g ± ∆g с учетом правил округления.
II. ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК
1.По формуле (3), зная t′, найти Т′.
2.По формуле (6) определить значение g для опыта с оборотным маятником.
3.Найти погрешность косвенного измерения g по формуле
∆g 2 |
∆π 2 |
∆lпр |
2 |
∆T |
′ 2 |
||||||
= 4 |
+ |
+ 4 |
, |
||||||||
g |
π |
lпр |
T ′ |
||||||||
где ∆lпр находится как погрешность графика,
∆T ′ = |
∆t′ |
, ∆t′ = (∆t1′)2 |
+ (∆t2′ )2 . |
|
n |
||||
4. Записать окончательный результат g = g ± ∆g с учетом правил округления.
Контрольные вопросы
1.Что такое: а) математический маятник; б) физический маятник?
2.Записать основное уравнение динамики вращательного движения.
3.Сформулировать теорему Штейнера.
4.Вывести формулу для расчета ускорения силы тяжести в случае математического
ифизического маятников.
5.Что называется приведенной длиной физического маятника?
Лабораторная работа № 23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И ЭЛЛИПСОИДОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: измерение моментов инерции двух тел: груза № 1 (куб) и груза № 2 (параллелепипед), а также построение для них эллипсоидов инерции.
1. Описание установки и метода измерений
Прибор «Крутильный маятник» представлен на рис. 1. На основании 2, оснащенном четырьмя ножками с регулируемой высотой, прикреплен миллисекундомер 1. В основании закреплена колонка 3, на которой при помощи зажимных винтов закреплены кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы, служащие для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7. На кронштейне 5 закреплена стальная плита 8, которая служит основанием фотоэлектрическому датчику 9, электромагниту 10 и угловой шкале 11. Электромагнит 10 может изменять свое положение на плите, а его положение относительно фотоэлектрического датчика показывает на
угловой шкале стрелка, прикрепленная к электромаг- Рис. 1 ниту.
Конструкция рамки позволяет закреплять грузы 1, 2, значительно отличающиеся друг от друга по внешним размерам. Грузы крепятся при помощи подвешенной балки, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками. Балка устанавливается путем затягивания гаек на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке. Фотоэлектрический датчик и электромагнит соединены с миллисекундомером 1 при помощи разъема.
Крутильный маятник представляет собой симметричное твердое тело (рамку), закрепленное на упругой струне, проходящей через центр масс этого тела (рис. 2). При
повороте маятника на небольшой угол α в струне возникает упругий крутящий момент, стремящийся вернуть систему в исходное состояние. Величина крутящего момента Mz = –ηα. Здесь η – угловая жесткость упругой струны. Знак "минус" указывает на то, что вектор момента силы упругости направлен против вектора углового перемещения. Если пренебречь потерями в системе, то уравнение динамики вращательного движения для маятника будет иметь вид
Iε = M z .
Учитывая, что ε = d 2α2 , dt
I |
d 2α |
= −ηα . |
Рис. 2 |
dt2 |
После преобразования получим
d 2α2 +η α = 0 . dt I
Отсюда собственная частота системы
ω0 = ηI .
Тогда период колебаний крутильного маятника вокруг вертикальной оси будет находиться по формуле
Ткрут = 2π |
I |
, |
(1) |
η |
где I – момент инерции рамки с грузом, η – угловая жесткость упругой струны. Колебания, совершаемые маятником, будут гармоническими при условии, что на-
чальный угол отклонения системы от положения равновесия был невелик.
Момент инерции рамки с грузом I можно найти, если экспериментально измерить период колебаний рамки с грузом
I = |
η T 2 |
. |
(2) |
|
4π 2 |
||||
Период Т крутильных колебаний вычисляется по формуле
T = |
t |
, |
(3) |
крут n
где n – число полных крутильных колебаний (например, n = 10), t – время n полных крутильных колебаний.
Если измерить период крутильных колебаний ненагруженной рамки Т0 = t0/n, то можно найти экспериментальное значение момента инерции рамки без грузиков.
I |
= |
η T |
2 |
. |
(4) |
|||
0 |
0 |
|||||||
4π 2 |
||||||||
Тогда моменты инерции I1r и I2r грузиков 1 и 2: |
||||||||
I1r = I1 − I0 , |
I2r |
= I2 − I0 . |
(5) |
|||||
Найденные экспериментально моменты инерции двух тел можно сравнить со значениями моментов инерции этих тел, рассчитанными по теоретическим формулам. Выведем формулы, по которым можно рассчитать момент инерции параллелепипеда относительно
осей х, у, z (рис. 3). Масса груза m. Размеры груза № 2 а, b, с определяются экспериментально.
Разобьем параллелепипед высотой с на пластинки толщиной dz. Найдем сначала момент инерции тонкой пластины размерами а, b относительно оси z – Iz. Для этого разобьем пластину на тонкие стержни длиной b и шириной dx. Воспользуемся формулой момента инерции
тонкого однородного стержня массой dm относительно оси, проходящей через центр масс стержня, а также теоремой Штейнера. Для тонкого стержня имеем:
dI z = 121 dm b2 + dm x 2 ,
где dm = ρ·b dx dz, ρ – плотность материала, из которого изготовлен груз, х – расстояние от оси z. Интегрируя по х, найдем ∆Iz пластинки:
a / 2 |
a / 2 |
dm b |
2 |
a / 2 |
2 |
b2 ρb a dz + 2ρbdz |
a |
3 |
1 |
|||||
∆Iz пл = 2 ∫ dI z = 2 ∫ |
+ 2 |
∫dm x2 = |
= |
ρab(a2 + b2 )dz . |
||||||||||
12 |
12 |
24 |
12 |
|||||||||||
0 |
0 |
0 |
2 |
|||||||||||
Момент инерции параллелепипеда (всех пластин) относительно оси z найдем, интегрируя по z ∆Iz пл.
c |
2 |
+ b |
2 |
2 |
+ b |
2 |
m |
||||||||
I |
z |
= |
∫ |
abρ a |
dz = abcρ a |
= |
(a2 + b2 ). |
(7) |
|||||||
12 |
123 |
12 |
12 |
||||||||||||
0 |
m |
||||||||||||||
Аналогично определяются моменты инерции параллелепипеда относительно двух
других главных осей у и х: |
|||||||||
I x = |
m |
(b2 |
+ c2 ), |
(8) |
|||||
12 |
|||||||||
I y = |
m |
(c2 |
+ a2 ). |
(9) |
|||||
12 |
|||||||||
Для груза № 1 (куб) a1 = b1 = c1 = d, |
|||||||||
I x = I y = I z |
= |
m d 2 |
|||||||
1 |
. |
(10) |
|||||||
6 |
|||||||||
Таким образом, измерив с помощью штангенциркуля геометрические размеры грузов №№ 1, 2, зная массы грузов (заданы на установке), по формуле (7), (8), (9), (10) можно найти теоретические значения моментов инерции Iβ грузов №№ 1, 2 относительно осей х, у, z и произвольной оси, соответствующей повороту грузов на угол β.
Наглядное представление о значении Iβ вдоль любого направления можно получить при помощи эллипсоида инерции. Можно показать, что полуоси эллипсоида инерции
равны соответственно |
1 , |
1 |
, |
1 |
. Расстояние от центра до поверхности эллипсои- |
I x |
I y |
I z |
|||
да в заданном направлении равно |
1 |
. Поверхность эллипсоида инерции дает нагляд- |
|||
I |
β |
||||
ное представление о величине всех возможный моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс. Для куба с Ix = Iy = Iz эллипсоид инерции трансформируется в сферу.
Экспериментально можно найти Ix, Iy, Iz и построить сечения эллипсоида инерции
плоскостями х, у; х, z; y, z. Получим эллипс с полуосями |
1 |
и |
1 |
в плоскости у, z |
I z |
I y |
|||
(рис. 4). По графику для данного направления, характеризуемого углом β, находим ρ. Тогда искомый момент инерции будет равен
I β = |
1 |
. |
(11) |
ρ2 |
|||