Материал: МЭИ(ТУ) Физика

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Фотоэлектрический датчик соединен с привинченным к основанию универсальным миллисекундомером 10.

неподвижный нож

подвижный нож

Рис. 2

Принято различать математический и физический маятники. Физический маятник – это твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг оси не совпадающей с его центром масс.

Рассмотрим тело массы m, закрепленное на оси (см. рис. 3). При отклонении маятника от положения равновесия на угол α возникает вращающий момент силы тяжести, стремящийся вернуть его в исходное состояние.

Проекция этого момента на ось Z равна Мz = –mgb sin α. Здесь b – расстояние от точки подвеса O до центра масс C. Знак "минус" указывает на то, что момент силы тяжести стремится

вернуть тело в положение равновесия. Если момент инерции те- Рис. 3

ла относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен I, то воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения тела Izε = Σ Mz, получим

Id 2α + mgb sinα = 0 . dt2

Разделив на I и учтя, что при малых углах α sin α ≈ α, имеем

d 2α	+ mgb	α = 0 .
dt2	I
Введем обозначение

ω02 = mgbI .

Получим уравнение

d 2α	2
dt2	+ω0α = 0 ,
dt2

решение которого имеет вид

α =α0 cos(ω0t +γ 0 ),

где ω0 – собственная частота системы, γ0 – начальная фаза, α0 – амплитуда колебаний. Тогда период колебаний физического маятника выразится формулой

Т	физ	=	2π = 2π	I .	(1)
	физ		ω0	mgb

Математический маятник представляет собой систему, состоящую из невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которую подвешен точечный груз массы m (рис. 4). Так как момент инерции такой системы I = ml2, то из формулы (1) легко получить период колебаний математического маятника

Т мат = 2π	l .	(1′)
	g
Период колебаний такой системы не зависит от массы груза m.		Рис. 4

Измерив период Т колебаний математического маятника и его длину l, можно из

формулы (1′) найти ускорение силы тяжести g по формуле
g =	4π		2 l		.	(2)
	T		2

Величина периода колебаний Т определяется экспериментально по формуле
Т =		t		,		(3)
		n

где n – количество полных колебаний, t – время n полных колебаний. Согласно формуле (1) период колебаний физического маятника равен

Т = 2π	I	,	(4)
	mgb

где I – момент инерции физического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса O, m – масса физического маятника, b – расстояние ОС от точки подвеса до центра масс.

Из формул (1′) и (4) следует, что математический маятник, длина которого

lпр =	I	,	(5)
	mb

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр называют приведенной длиной физического маятника. Если точку подвеса физического маятника перенести вдоль прямой ОС на расстояние lпр (см. рис. 3), то приведенная длина маятника в новом положении, а, следовательно, и период колебаний, останутся теми же, что и вначале.

Преимущество оборотного маятника состоит в том, что его приведенную длину можно найти, не пользуясь формулой (5), т. е. не зная его массы и момента инерции.

Точка K (рис. 3), лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса 0 с центром масс С на расстоянии ОK = lпр, называется центром качаний. Можно показать, что приведен-

ная длина lпр > b, так что точка подвеса и центр качаний лежат по разные стороны от центра масс.

Точка подвеса и центр качаний K обладают свойством взаимности. Если перенести точку подвеса в центр качаний, то новый центр качаний совпадает со старой точкой подвеса. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний приведенная длина физического маятника не меняется, и поэтому период колебаний сохраняет свое значение. Это свойство, установленное Гюйгенсом, доказывается следующим образом.

Обозначим через I′, l′пр, b′ момент инерции, приведенную длину и расстояние от точки подвеса до центра масс для новой точки подвеса. Приведенная длина равна соответственно

′	I ′	.

lпр =	mb′

По теореме Штейнера I = IС + mb2, I′ = IС + m(b′)2, и поэтому I′ = I – mb2 + m(b′)2 =

=I + m(b′ + b)(b′ – b). Используя (5) и геометрически очевидное соотношение b′ + b =

=lпр, находим

lпр = m1b′[I + m(b′+ b)b′− m(b′+ b)b]= m1b′ (mlпрb + mlпрb′− mlпрb)= lпр .

Таким образом, если у физического маятника найдены две точки подвеса, лежащие несимметрично по разные стороны от центра масс, и период колебаний маятника при подвесе в этих точках одинаков, то расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. Ускорение силы тяжести в этом случае может быть найдено по формуле

g =	4π 2 l		пр	,	(6)
	T	2

где lпр – приведенная длина оборотного маятника, понимаемая как расстояние между призмами; Т – период колебаний оборотного маятника.

Величина периода определяется на основании полученных результатов эксперимента по формуле (3). Таким образом, измерения сводятся к измерению периода колебаний оборотного маятника для расстояния между призмами, равном lпр.

2. Порядок выполнения работы

I. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком установить в нижней части колонки, обращая внимание на то, чтобы верхняя грань кронштейна показывала на шкале длину не менее 50 см. Затянуть винт ворота, фиксируя фотоэлектрический датчик в избранном положении.

2.Поворачивая верхний кронштейн, поместить над датчиком математический ма-

ятник.

3.Вращая ворот 9 на верхнем кронштейне, установить длину математического ма-

ятника l > 50 см, обращая внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика.

4.Вывести математический маятник из положения равновесия, отклонив нить на угол 4-5° от вертикали (≈ 5 см).

5.Нажать клавишу СБРОС.

6.После подсчета измерителем 9 колебаний нажать кнопку «СТОП». При этом совершится 10 полных колебаний и счетчик времени покажет их время.

7.Не останавливая маятник, повторить измерения пп. 5, 6 не менее 5 раз.

8.Результаты измерений записать в табл. 1.

Таблица 1 l = …

		Математический маятник

№ п/п	n	t, c	∆ti, c	∆ti2, c2	T, c	g, м/с2
1	10

2	10

3	10

4	10

5	10

Среднее

9. Записать значение длины математического маятника l.

II. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

1.Повернуть верхний кронштейн на 180°.

2.Закрепить оборотный маятник на вкладыше верхнего кронштейна на неподвижной призме, находящейся вблизи конца стержня. Расположение грузов и подвижного ножа показано на рис. 2.

3.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком переместить таким образом, чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось фотоэлемента.

4.Отклонить маятник на 4-5° от положения равновесия и отпустить.

5.Нажать клавишу СБРОС.

6.После подсчета измерителем 9 колебаний нажать клавишу СТОП. При этом миллисекундомер покажет время 10 полных колебаний.

7.Записать время 10 полных колебаний t1 в табл. 2.

8.Снять маятник и закрепить его на втором ноже (подвижном), поместив его пер-

воначально вблизи середины стержня (l ≈ 17 см, рис. 2).

9.Снять зависимость времени 10 полных колебаний оборотного маятника от расстояния l между концом стержня с грузом (точка O) до подвижного ножа, меняя это расстояние от 17 см до 10 см через каждый сантиметр.

10.Записать значения l и t2 в табл. 2.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285662

Смотрите также: