2.Почему нельзя применить закон сохранения механической энергии в данной ра-
боте?
3.Дать определение момента силы относительно неподвижной оси. Какая сила создает вращающий момент для шкива S?
4.Зачем в работе измеряется число оборотов до полной остановки n2?
5.Какова будет формула для расчета момента инерции, если при ее выводе пренебречь трением в оси?
Лабораторная работа № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТРУБЫ И ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции трубы для двух осей вращения и сравнение результатов с теоремой Штейнера.
Метод нахождения момента инерции основан на том, что период колебаний физического маятника зависит от момента инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний согласно формуле
Т = 2π |
I |
, |
(1) |
mga |
где m – масса колеблющегося тела (трубы), а – расстояние между осью колебаний и центром масс, I – момент инерции колеблющегося тела.
Следовательно, найдя экспериментально период Т, расстояние а и массу m, можно рассчитать момент инерции по формуле
I = |
T 2mga |
. |
(2) |
|
4π 2 |
||||
Помимо нахождения момента инерции для двух положений оси, на установке данной работы экспериментально определяется приведенная длина физического маятника. Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и данный физический маятник.
1. Описание установки и метода измерений
Установка состоит из укрепленных на одной оси математического и физического маятников. Схема установки дана на рис. 1.
Математический маятник представляет собой маленький шарик D, прикрепленный на длинной тонкой нити; Е – барабан, на который нить может наматываться. Таким способом изменяется длина математического маятника и, следовательно, период его колебаний в соответствии с формулой
Т = 2π gl .
Физический маятник представляет собой неоднородную трубу с передвижной муфтой В. На муфте имеются расположенные по диаметру вырезы, положение которых определяет ось колебаний (вращения) маятника О.
На стенке на кронштейне укреплены опорные призмы, на вершине призм устанавливается вырез муфты В. Муфта должна быть плотно привинчена к трубе.
На одной половине трубы нанесена шкала. Нулевая точка шкалы совпадает с центром масс трубы,
поэтому любое деление на шкале определяет величину а – расстояние от центра масс до оси колебаний.
Для измерения времени нескольких колебаний трубы или математического маятника используется секундомер; для измерения расстояния а – шкала, нанесенная на трубе. Длина математического маятника l находится с помощью миллиметровой линейки.
2. Вывод расчетных формул
Для нахождения периода колебаний физического маятника измеряют время τ нескольких малых колебаний маятника. По времени τ и числу колебаний n рассчитывают период колебаний
Т = |
τ . |
(3) |
n |
Моменты инерции трубы для двух положений оси колебаний рассчитываются по
формулам |
|||||||||||
I |
= |
T 2mga |
, |
I |
= |
T 2mga |
2 |
(4) |
|||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|||||||
4π 2 |
4π 2 |
||||||||||
величины а1 и а2 находятся по шкале на оси трубы.
По теореме Штейнера момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, –
I0 и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями а. Следовательно, |
||
I1 |
= I0 + ma12 , |
|
I2 |
= I0 + ma22 , |
(5) |
I 2 − I1 = m(a22 − a12 ). |
||
По этой формуле проверяется соответствие результатов расчета моментов инерции с теоремой Штейнера. При аккуратно проведенном опыте величина I2 – I1 = x и произ-
ведение m(a22 − a12 )= у должны быть равны в пределах точности эксперимента.
Приведенная длина физического маятника l находится экспериментально и сравнивается с длиной l', рассчитанной из равенства периодов математического и физического маятников
2π |
I |
= 2π |
l' . |
|
mga |
g |
|||
Из этого равенства получается |
||||
l' = |
I |
. |
(6) |
|
ma |
||||
Убедитесь, что рассчитанная по формуле (6) приведенная длина l' совпадает с определенной экспериментально длиной l в пределах точности опыта. Экспериментально определяемая длина математического маятника равна расстоянию между осью колебаний и центром масс шарика D.
3. Порядок выполнения работы
1. Снять кривую зависимости периода колебаний физического маятника (трубы) от расстояния а (т. е. расстояния между осью колебаний и центром масс).
Для этого измерить время τ десяти полных колебаний маятника для нескольких положений муфты (например, для положения 5, 10, … 45 см от центра масс). Каждое измерение проводить один раз. Результаты измерений занести в табл. 1. По результатам измерений построить кривую зависимости Т = f(a), где T = τ/10.
Целью этих измерений является выяснение наилучших условий опыта, обеспечивающих минимальные погрешности. Основная погрешность при определении момента инерции I зависит не только от точности используемого прибора (инструментальная погрешность), не только от влияния случайных факторов (случайная погрешность), но и от характера зависимости Т от положения оси колебаний (от расстояния а). При
а → 0 (ось приближается к центру масс) период колебаний Т → ∞ (см. (1)).
Поэтому при небольших значениях а смещение муфты на 2 мм (что соответствует инструментальной погрешности) приводит к изменению Т на величину, во много раз превышающую приборную погрешность секундомера. При больших значениях а зависимость Т = f(a) изображается очень пологой кривой (почти горизонтальной прямой).
Примерный график зависимости Т = f(a) изображен на рис. 2, там же указаны изменение Т1, Т2, соответствующие смещению муфты на 2 мм (∆а = 2 мм) в двух точках графика. Очевидно, изменение Т1 больше изменения Т2, хотя ∆а1 = ∆а2 = 2 мм.
Рис. 2
Рекомендуется построить кривую зависимости Т = f(a) и выбрать на пологом участке такие два значения а1 и а2, которые обеспечили бы минимальную ошибку измерений. При этом следует учесть, что разность (а2 – а1) должна быть как можно больше, чтобы относительная погрешность этой разности была минимальной. (Для обеспечения этих условий нужно выбрать а2 у края трубы, а а1 в самом начале пологого участка кривой, как можно ближе к центру масс.)
2.Для двух выбранных положений муфты а1 и а2 повторить измерение τ1 и τ2 не менее пяти раз и рассчитать средние значения τ1 и τ2 . Полученные результаты занести
втабл. 2 и 3.
3.Измерить приведенную длину маятника l для положения муфты а2 (у края трубы). Для этого подобрать длину математического маятника так, чтобы его колебания совпадали с колебаниями физического маятника не менее чем в 5 последовательных колебаниях.
Длину математического маятника измерить линейкой (в данной установке l – расстояние от оси колебаний до центра масс шарика D). Опыт повторить несколько раз.
4. Результаты измерений и расчеты
Данные установки |
|
Масса трубы m = |
∆m = |
1. Нахождение зависимости Т = f(a) |