Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е

4. Устойчивость конечно-разностной схемы по отношению к возмущению, вызванному погрешностью аппроксимации дифференциального оператора

Для исследования устойчивости конечно-разностной схемы по отношению к возмущениям, вызванным погрешностью (невязкой) аппроксимации дифференциального оператора, рассмотрим, как обычно [4], задачу (14) с однородными (нулевыми) граничными условиями

Для упрощения и сокращения количества выкладок временно предположим (окончательный результат не зависит от этого предположения), что существует аналитическое продолжение сеточных функций i и i , определенных в дискретных узлах сетки xi i h, i 0, 1, 2, , на непрерывную ось Ох. При этом будем требовать от аналитического продолжения x не-

прерывность и дифференцируемость до второй производной включительно, а для аналитического продолжения x лишь непрерывность самой функции.

Тогда при h 0 конечно-разностная задача (20) превращается в дифференциальную:

d2G x x k G x x x x . dx2

В зависимости от величины замороженного параметра функция G x x имеет вид:

65

1) 0 1

где i0 1 − мнимая единица.

Записывая теперь формулу (22) в дискретных узлах сетки, получаем следующее представление для погрешности i :

i

i Gij j h,

j 1

Из равенств (23), (24), (25) после выполнения суммирования следуют оценки по норме:

1) 0 1

66

2) 0

тойчива (для любых конечных xi ) по отношению к возмущению, связанному с невязкой аппроксимации дифференциального оператора. В рассматриваемом здесь методе замороженного параметра эта устойчивость характеризуется нормой:

i c O h2 .

5. Сходимость

Сходимость при h 0 разностного решения к точному (для любых конечных xi ) следует из того, что [3, 4]: 1) погрешность аппроксимации диффе-

ренциального оператора имеет порядок O(h2 ), погрешность аппроксимации граничных условий − O(h3); 2) конечно-разностная схема устойчива для любых конечных xi по отношению к невязке аппроксимации дифференциального оператора и к невязке граничных условий. Таким образом, как видно из предыдущего, разностное решение в методе замороженного параметра сходится к точному решению со вторым порядком точности для любых конечных xi .

6. Оценка погрешности

Априорная мажорантная оценка погрешности (в методе замороженного параметра) следует из формул (26), (28), (30). Она имеет вид при любом конечном xi :

67

7. Проверка схемы на тесте

Все приведенные выше соображения об устойчивости и сходимости ко- нечно-разностной схемы (1) были основаны на анализе линеаризованной методом замороженного параметра исходной нелинейной задачи (2). Поэтому дополнительно разностная схема была протестирована на нелинейной задаче (2), в которой свободный член f x 0, и для которой известно точное аналитическое решение:

Точное аналитическое решение этой задачи имеет вид уединенного солитона [2]:

x 4arctg ekx .

Тесты показали, что схема устойчива и сходится к точному решению при

kh 10 3 вплоть до значений x ~ 102k , что вполне достаточно для целей нашего исследования, поскольку наибольший пространственный масштаб, на котором «локализованы» все вычисления в рассматриваемых здесь задачах – это характерный размер (вдоль оси Ох) вихретокового солитона ~ 1k .

Отметим, что метод замороженного параметра приводит к завышенным требованиям по устойчивости конечно-разностной схемы в данной задаче.

8. Мажорантная оценка дисперсии решения

Поскольку исходное уравнение математической модели является стохастическим, то помимо вычислительных погрешностей, связанных с численным решением усредненного уравнения, необходимо провести оценку среднеквадратичного отклонения решения стохастического уравнения в каждой из реализаций ансамбля ΓN от решения усредненного по этим реализациям уравнения

– дисперсию решения.

Ниже приведена оценка дисперсии решения:

2 12 .

Учитывая [1], имеем:

С точностью до членов второго порядка по :

68

2 12 ,

12 12 .

Таким образом, будем иметь [1]:

kw 12 th kx kw 12 10 2,

при этом ~ 1.

Литература

1.Кирпиченкова Н. В., Кирпиченкова В. Я., Крыжановский К. В. Конечно-разностная схема для стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения // Физико-математиче- ское моделирование систем: материалы XX Междунар. семинара. Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019. Ч. 1. С. 50 -58.

2.Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение.- М.: 1984. 639с.

3.Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

4.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самар-

ский. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

INVESTIGATION OF AN AVERAGED FINITE-DIFFERENCE SCHEME FOR STOCHASTICALLY PERTURBED STATIONARY EQUATION OF SIN-GORDON

N. V. Kirpichenkova, V. Ya. Kirpichenkova, K. V. Kryzhanovskiy

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk

For the developed statistically averaged finite-difference scheme for finding the numerical solution of the stochastically perturbed sin-Gordon equation near the one-soliton solution, it is theoretically proved that the scheme developed is stable and converge to the "exact" averaged solution on the characteristic spatial and temporal scales of the solved problems.

Keywords: math modeling, finite-difference scheme, eddy current processes, stochastically perturbed equation sin-Gordon, disordered contact, quantum shorting, single-soliton solution.

69