Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е

УДК 004.942:681.586.2

ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ РЕЗОНАТОРА ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

И. Л. Батаронов, Г. Е. Шунин, С. А. Кострюков, В. В. Пешков, С. В. Писарев

Воронежский государственный технический университет vmfmm@mail.ru

Методом конечных элементов решена краевая задача на собственные значения уравнения колебаний цилиндрического резонатора вращающегося волнового твердотельного гироскопа. Определены формы и частоты собственных колебаний резонатора.

Ключевые слова: математическая модель, волновой твердотельный гироскоп, вращение, собственные частоты, резонатор.

Введение

Эффект инертности стоячей упругой волны во вращающейся полусферической оболочке был установлен Брайаном в 1890 г. [1]. На его основе Линчем

в1965 г. была предложена конструкция датчика угловой скорости, названного им полусферическим резонаторным гироскопом (волновой твёрдотельный гироскоп – ВТГ) [2]. Впервые реально работающие высокоточные ВТГ появились

в80-х годах ХХ века (см. обзор [3]). Их точность определяется оптимальным выбором конструкции чувствительного элемента, возможностями технологии его изготовления и электроникой. Оптимизация осуществляется путём натурного и математического моделирования. Важно отметить, что эффективность математического моделирования зависит от полноты математической модели ВТГ, выбранного численного метода и возможностей вычислительной техники. Математические модели ВТГ, построенные в работах [4-5] на основе теории упругости тонких оболочек, достаточно хорошо описывают поведение полусферического ВТГ и позволяют аналитическими методами исследовать влияние дефектов массы и формы на его параметры и характеристики, а также разработать алгоритмы его балансировки. Однако в случае ВТГ с более сложной формой подвеса резонатора, использующего пьезоэлементы, аналитические методы теряют свою эффективность. Необходимо использовать численные методы анализа математических моделей, описывающих процессы в чувствительных элементах ВТГ. Так, в работе [6] методом конечных элементов были рассчитаны формы и частоты собственных колебаний цилиндрических резонаторов ВТГ, влияние дефектов формы и вариаций плотности материала на расщепление рабочей собственной частоты резонатора, а также термоупругие потери в них.

Целью данной работы является конечно-элементное моделирование влияния частоты равномерного вращения одноосного ВТГ на собственные частоты его резонатора.

140

Математическая модель

Физико-механические процессы в ВТГ можно описать в рамках общей теории электротермоупругости сплошных сред [7], введя объёмные инерционные силы, обусловленные вращением и вибрациями объекта, на котором установлен ВТГ.

Система связанных ДУЧП, описывающая эти процессы с учётом только сил Кориолиса, имеет вид:

D = 0,

E = 0.

Используются линейные материальные соотношения

c:(s s) e* E,

D = e : s + E,

= 0 r.

Электрическое поле выражается через скалярный потенциал :

E = – .

Здесь – плотность материала, cp – удельная теплоёмкость, T0 – заданная температура, T – скалярное температурное поле, – угловая скорость, u – вектор смещений, E – напряжённость электрического поля, D – индукция электрического поля, – тензор напряжений второго ранга, k – тензор коэффициентов теплопроводности второго ранга, α – тензор коэффициентов теплового расширения второго ранга, c – тензор модулей упругости 4-го ранга, s = ( u + ( u)*)/2 – тензорное поле деформаций 2-го ранга, e – тензор пьезоэлектрических модулей 3-го ранга, 0 – абсолютная диэлектрическая проницаемость, r – тензор относительной диэлектрической проницаемости 2-го ранга,, – коэффициенты демпфирования в модели вязкости Рэлея, * – операция перестановки двух индексов в тензоре.

Для нахождения собственные частоты и форм колебаний решается краевая задача для уравнения

– 2u + i u – = 0,

с граничными условиями

u = 0,

n = 0.

141

Здесь = 2 f, f – собственная частота, n – единичный вектор нормали к границе области решения задачи.

Для определения отклика ВТГ на моногармоническое электромеханическое возбуждение и расчёта термоупругих потерь решается краевая задача для системы уравнений при разных значениях параметра :

– 2u – = 0,

i cpT – (k T) + i T0 : = 0

с граничными условиями

u = 0,

n = 0,

n = P,

–n (k T) = 0,

Здесь P – амплитуда гармонической нагрузки, действующей на границу. Временная зависимость отклика ВТГ на электромеханическое возбужде-

ние даётся решением смешанной краевой задачи для системы уравнений

2u 0,

t2

D = 0,

E = 0

с начальными условиями

u0 = 0, u 0,

и граничными условиями

u = 0,

n = 0,

= 0,

= ,

SdS 0,

S

где − заданная функция времени, S – часть границы области решения задачи V.

Для решения рассмотренных краевых задач используется интегрированная система компьютерного моделирования физических процессов в гравиинерциальных датчиках [8, 9].

В состав системы входит электронная база данных, содержащая информацию о существующих разработках и исследованиях гравиинерциальных дат-

142

чиков, а также о физико-математических моделях и комплексах программ которые могут использоваться для компьютерного моделирования физических процессов в конструктивных элементах датчиков.

Вычислительный эксперимент и обсуждение результатов

Вкачестве прототипа для вычислительных экспериментов была взята конструктивная схема одного из вариантов ВТГ, выпускаемых фирмой Innalabs (Ireland) [21].

Численное решение краевой задачи на собственные частоты проводилось методом конечных элементов в базовом модуле Comsol Multiphysics 4.2.

Предполагалось, что металлические детали ВТГ изготовлены из стали марки 12Х18Н10Т, а пьезоэлементы из керамики PIC-181.

Втабл. 1 приведены параметры используемых материалов. На рис. 1, 2 показана геометрическая модель датчика ВТГ.

Рис.1.Геометрическая модель датчикаВТГ с отверстиями в дне резонатора (в разрезе): 1 – резонатор, 2 – пьезоэлемент, 3 – основание, 4 – крышка

143