Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ch

kx С1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ch

 

kx

,

 

x x ,

 

 

 

 

 

x,x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

 

ch

kx С1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ch kx

 

,

x x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С1 − произвольная константа.

С помощью функции Грина (16) решение неоднородного уравнения (12) представим в виде

0

x

 

x

sin 0

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

(19)

1 x 1

x,x

k x

x

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что (19) действительно есть решение уравнения (12).

Для этого подействуем на левую и правую части (19) оператором Dˆx левой части уравнения (12)

 

 

 

 

 

Dˆx

d

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

ch

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

ˆ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx 1 x Dx 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k x

sin 0 x

dx

 

 

 

 

(20)

 

x Dx x,x

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый член в правой части этого уравнения равен нулю, так как 0 x

есть решение однородного уравнения (13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dˆ

0

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dˆx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Во втором члене в правой части (20) оператор

 

можно «протащить»

через первый интеграл (по переменной x ), так как этот оператор Dˆx

действует

на «свободную» переменную x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k x

 

sin 0 x

 

dx

 

dx

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

k x

 

sin 0

x

 

dx

 

 

Dx x,x

 

 

 

 

 

Dx x,x

 

 

 

dx. (21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее, учитывая (17), получаем, что интеграл (21) принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k x

 

sin 0

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22)

 

 

 

 

 

x x

x

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем, учитывая, что [5]

x x x x x x ,

интеграл (22) записываем в виде:

55

x

 

 

 

k x

 

sin 0 x

 

dx

 

 

(23)

x x x

 

 

 

dx.

Учитывая теперь, что при действии на некоторую функцию F x [5]

x x x F x x x Fx x ,

преобразуем интеграл (23) к виду:

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

k x

 

sin

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

(24)

 

x x

 

 

 

0

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Далее, дифференцируя интеграл, стоящий в квадратных скобках в (24), по верхнему пределу, получаем

 

/

 

 

x

 

k x sin 0 x .

 

k x sin 0 x dx

(25)

 

x

 

 

Подставляя теперь (25) в (24), получаем окончательно:

x x k x sin 0 x dx k x sin 0 x .

Возвращаясь теперь к формуле (20), получаем

Dˆx 1 x k x sin 0 x

и доказываем, таким образом, что (19) действительно есть решение уравнения

(12).

Учитывая

далее,

что 1 x ~

 

 

 

, т.е. в отсутствие возмущения

 

 

x 0 функция

1 x

должна обращаться в нуль, получаем, что произволь-

ная константа C в решении однородного уравнения (14) в рассматриваемых условиях должна равняться нулю C 0 , т.е. 10 x 0.

Таким образом, получаем из (19) окончательный вид решения уравнения

(12)

x

 

k x

 

sin 0 x

 

dx

 

 

(26)

1 x x,x

 

 

 

dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где пропагатор x,x определен в (16), а 0 x

есть односолитонное решение

(6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, в частности, что

x

1 x x,x k x sin 0 x dx dx 0

 

 

 

 

 

в соответствие с тем, что x

0 (4.15).

 

 

 

Дальнейшая задача состоит в нахождении средних x x

и

2

x

 

1

 

1

 

на основании формулы (26).

56

Вычислим сначала

x

x 1 x x,x k x x sin 0 x dx dx.

Учитывая, что корреляционная функция

x x w x x ,

получаем

x 1 x kwsin 0 x x,x dx.

Вычисляя входящий сюда интеграл от функции Грина, получаем, отбрасывая бесконечную нефизическую константу, которая «зануляется» подходящим выбором константы С1 в (18)

 

 

 

 

 

 

x 1

x

w

 

k

sin 0 x th

 

x .

 

(27)

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим теперь

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 x

 

 

x,x k x sin 0 x dx dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x,x k x sin 0 x dx dx

k2

 

x,x x,x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

x

 

x

 

sin 0 x

 

sin 0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(28)

 

 

 

 

 

 

 

dx dx

 

dx dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что корреляционная функция

x x w x x ,

а односолитонное решение есть

0 x 4arctg ek x ,

57

i 1 2 i i 1

 

 

wk k

2

 

 

 

 

 

k sin

i

 

kxi th

 

h2

2 th

kxi cos 0 xi sin 0 xi . (30)

Литература

1. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применение. – М.: 1984.

639 с.

2.Минеев, М.Е. Движение джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала / М.Е. Минеев, М.В. Фейгельман, В.В. Шмидт // ЖЭТФ. – 1981. – Т. 81. – С.290-298.

3.Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых резонансно−перколяционных траекторий на параметры джозефсоновского вихря / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. – 2007. – Т. 132. – С. 294296.

4.Лифшиц И.М, Кирпиченков В.Я. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 989-1016.

5.Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971. – 512 с.

FINITE-DIFFERENCE SCHEME FOR STOCHASTICALLY

PERTURBED STATIONARY EQUATION OF SIN-GORDON NEAR RENOVATED BY QUANTUM SHORTCUTS A SINGLE-SOLITON SOLUTION

N. V. Kirpichenkova, V. Ya. Kirpichenkova, K. V. Kryzhanovskiy

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk

The statistically averaged finite difference schemes were developed to find the averaged numerical solution of the basic equation of the mathematical model of eddy currents in a disordered S-I-S (S-superconductor, I-insulator) contact-stochastically perturbed (random quantum shortcircuits in the disordered I-layer) of the stationary sin-Gordon equation near one-soliton solution of the unperturbed equation.

Keywords: math modeling, finite-difference scheme, eddy current processes, stochastically perturbed stationary equation sin-Gordon, disordered contact, quantum shorting, one-soliton solution.

58

УДК 004.942: 621.3.082.7

ИССЛЕДОВАНИЕ УСРЕДНЕННОЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON

Н. В. Кирпиченкова, В. Я. Кирпиченкова, К. В. Крыжановский

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, Новочеркасск

wkirpich@rambler.ru

Для разработанной статистически усредненной конечно-разностной схемы нахождения численного решения стационарного, стохастически возмущенного квантовыми закоротками уравнения sin-Gordon вблизи односолитонного решения теоретически доказано, что разработанная схема устойчива и сходится к «точному» усредненному решению на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач.

Ключевые слова: математическое моделирование, конечно-разностная схема, вихретоковые процессы, стохастически возмущенное стационарное уравнение sinGordon, неупорядоченный контакт, квантовые закоротки, односолитонное решение.

1. Погрешность аппроксимации дифференциального оператора

Найдем погрешность аппроксимации дифференциального оператора для разработанной в [1] статистически усредненной конечно-разностной схемы

 

2

 

 

 

 

 

w k

k

 

 

 

 

 

 

i

 

 

th2

kxi th

kxi cos 0 xi

sin 0 xi . (1)

 

i 1

 

 

i 1

k sin

i

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

d2

ksin f x ,

x ,

dx2

 

 

x 0 ,

(2)

d

2 k,

dx x 0

где f x 1 wkk th2 kx th kx cos 0 x sin 0 x . 2

59

Источник: https://studfile.net/preview/16568950/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.