Материал: Физико-математическое моделирование систем. материалы XX Международного семинара. Батаронов И.Л., Шунин Г.Е

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

УДК 004.942: 621.3.082.7

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON ВБЛИЗИ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО КВАНТОВЫМИ ЗАКОРОТКАМИ ОДНОСОЛИТОННОГО РЕШЕНИЯ

Н. В. Кирпиченкова, В. Я. Кирпиченкова, К. В. Крыжановский

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, Новочеркасск

wkirpich@rambler.ru

Разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S (S – сверхпроводник, I – изолятор) контакте – стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое) стационарного уравнения sin-Gordon вблизи односолитонного решения невозмущенного уравнения.

Ключевые слова: математическое моделирование, конечно-разностная схема, вихретоковые процессы, стохастически возмущенное стационарное уравнение sinGordon, неупорядоченный контакт, квантовые закоротки, односолитонное решение.

1. Постановка задачи

k 1 x sin r ,

x ,

t 0,

(1)

c02

где

g x g

g ,

(2)

2. Метод стохастического усреднения конечно-разностной схемы

d2	k 1 x sin ,	x ,	(3)
dx2

с целью нахождения его численного решения вблизи односолитонного решения невозмущенного уравнения, которое требуется для нахождения параметров джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте.

	d2	0	ksin 0	,	x .
			ksin 0	,	x .
	dx2
Односолитонное решение этого уравнения, соответствующее граничным
условиям					2 ,
	0,				2 ,
имеет вид [1]:		0 x 4arctg e					x .

						k		(6)

Для вычисления средних sin x и x sin x , входящих в правую

часть уравнения (5), представим искомое решение с точностью до членов ~2 1 в виде:

x 0 x 1 x 2 x ,

где	x ~	,	2	x ~	2	− члены, обусловленные флуктуациями туннельной
где	x ~	,		x ~	2	− члены, обусловленные флуктуациями туннельной
	1

проводимости, а 0 x дается (6).

Разложим sin x в правой части уравнения (5.1) вблизи односолитонно-

го решения (6) с точностью до членов ~2:

sin x sin 0 x 1 x 2 x sin 0 x cos 0 x 1 x cos 0 x 2 x

		1	sin	0	x 2 x .	(7)

2					1

Подставляя разложение (7) в правую часть (3) и удерживая члены одина-
кового порядка по	, получаем уравнения для функций 0 x , 1 x , 2					x :

ksin 0,

dx2

kcos

x k x sin

x ,

(8)

dx2

kcos

x kcos

x x

ksin

2 x .

dx2

Усредняя выражение (7) по ΓN , получаем с точностью до членов ~

sin x

sin

x 2 x .

(9)

Далее найдем среднее

x sin x . С точностью до членов ~

полу-

чим, учитывая (7),

x sin x

x sin

cos

x x cos

sin

x .

Учитывая, что sin 0 x и cos 0 x − не случайные функции, имеем

x sin 0 x

x sin 0 x 0.

Члены,

содержащие

x 2 x

3 ,

не учитываются в

принятом приближении.

Таким образом, имеем с принятой точностью

x sin x

cos 0

x 1 x .

(10)

Следовательно, как видно из (9), (10), для нахождения средних

sin x

и x sin x , входящих в разностную схему (4), необходимо сначала полу-

чить интегральное представление для 1 x . Это представление для 1 x ищем из второго уравнения системы (8), которое перепишем в виде:

x k x sin

x .

kcos

(11)

dx2

Учитывая, что

cos 0 x cos 4arctg e

ch2

уравнение (11) перепишем в виде:

d 2

x k x sin

x .

k 1

(12)

d 2 0				2			0	x 0,
	1	k 1							(13)
	2	k 1	2						(13)
dx	2		2			1
dx			ch		kx
			ch		kx

конечное при x , имеет вид (что несложно проверить непосредственным вычислением):

0 x

(14)

где C − произвольная константа.

Основываясь на решении (14), введем функцию Грина соотношением:

2ch

x x ,

x,x

(15)

x x .

2ch

или

x,x

sign x x

(16)

где «знаковая» функция sign x определяется соотношениями

1, x 0, sign x

1, x 0.

Прямым вычислением нетрудно убедиться, что функция Грина (16) удовлетворяет уравнению:

d 2	x,x				2
			k 1		2		x, x x x x ,
		2		2
dx		2		2		kx
dx				ch
				ch

где в правой части этого уравнения стоит производная по переменной дельта-функции x x [5]:

x x x d x x . dx

(17)

x от

Заметим, что свойства обобщенной функции x x и её производных хорошо описаны в [5]. Отметим также, что функция Грина x,x определена соотношениями (15), (16) с точностью до решения однородного уравнения (14). То есть в качестве функции Грина может быть взята и функция

Источник: https://studfile.net/preview/16568950/

Смотрите также:



ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.