Материал: Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

ничивание материала происходит за счет токов, циркулирующих внутри атомов, т. е. либо вращения электронов, либо движения их в атоме. Следовательно, с физической точки зрения лучше описывать намагничивание только при помощи реальных атом­ ных токов, а не вводить плотность каких-то мистических «маг­ нитных зарядов». Эти токи иногда называются еще «амперовскими», ибо Ампер первый предположил, что магнетизм вещества происходит за счет циркуляции атомных токов.

Микроскопические плотности токов в намагниченном веще­ стве, разумеется, очень, сложны. Их величина зависит от место­ положения в атоме: в некоторых местах они велики, в других — малы, в одной части они текут в одну сторону-, а в другой — в противоположную (точно так же, как микроскопическое элект­ рическое поле, которое внутри диэлектрика в высшей степени неоднородно). Однако во многих практических задачах нас ин­ тересуют только поля вне вещества или средние магнитные поля

внутри него, причем под средним мы имеем в виду усреднение по очень многим атомам. В таких макроскопических задачах маг­

нитное состояние вещества удобно описывать через намагничен­ ность М — средний магнитный момент единицы объема. Я рас­ скажу сейчас, как атомные токи в намагниченном веществе вы­ растают до макроскопических токов, которые связаны с М.

Разобьем плотность тока j, которая является реальным ис­ точником магнитных полей, на разные части; одна из них описы­ вает циркулирующие токи атомных магнитиков, а остальные — другие возможные токи. Обычно удобнее делить токи натри части. В гл. 32 мы делали различие между токами, свободно текущими по проводникам, и токами, обусловленными движением связан­ ных зарядов в диэлектрике то туда, то сюда. В гл. 32, § 2, мы писали

J = Jno» 4*lap»

причем величина jn0I представляла токи от движения связанных зарядов в диэлектриках, a jap — все другие: токи. Пойдем дальше. Я хочу из ]др выделить часть j„ar, которая описывает усреднен­ ные токи внутри намагниченных материалов, и дополнительный член, который мы будем называть jnp0B и который будет описывать все остальное. Он, вообще говоря, относится к токам в провод­ никах, но может описывать и другие токи, например токи заря­ дов, движущихся свободно через пустое пространство. Таким образом, полную плотность тока мы будем писать в виде

Разумеется, именно этот ток входит в уравнение Максвелла с ротором В:

136

Теперь мы должны связать ток jHar с величиной вектора на­ магниченности М. Чтобы вы представляли, к чему мы стремимся, скажу, что должен получиться такой результат:

Если в магнитном материале нам всюду задан вектор намагни­ ченности М, то плотность циркуляционного тока определяется ротором М. Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит.

Сначала возьмем цилиндрический стержень, равномерно на­ магниченный параллельно его оси. Мы знаем, что физически та­ кая равномерная намагниченность означает на самом деле одно­ родную повсюду внутри материала плотность атомных циркули­ рующих токов. Попытаемся представить себе, как выглядят эти реальные токи в поперечном сечении стержня. Мы ожидаем уви­ деть токи, напоминающие изображенные на фиг. 36.2. Каждый атомный ток течет по кругу, образуя крохотную цепь, причем все циркулирующие токи текут в одном и том же направлении. Каким же тогда будет эффективный ток? В большей части стержня он, конечно, не дает вообще никакого эффекта, ибо рядом с каж­ дым током есть другой ток, текущий в противоположном направ­ лении. Если представить себе небольшую поверхность, показан­ ную на фиг. 36.2 линией АВ, которая, однако, чуть-чуть толще

отдельного атома, то полный ток через такую поверхность дол­ жен быть равен нулю. Внутри материала никакого тока нет. Однако обратите внимание, что на поверхности материала атом­ ные токи не компенсируются соседними токами, текущими в дру­ гом направлении. Поэтому по поверхности все время в одном направлении вокруг стержня течет ток. Теперь вам понятно, почему я утверждал, что равномерно намагниченный стержень Эквивалентен соленоиду с текущим по нему электрическим током.

Как же эта точка зрения согласуется с выражением (36.7)? Прежде всего намагниченность Л1 внутри материала постоянна, так что все ее производные равны нулю. Эго согласуется с нашей геометрической картиной. Одна­ ко. М на поверхности на самом

перечном сечении железного стержня, У\ намагниченного в направлении оси г.

137

деле не постоянна, она постоянна вплоть до поверхности, а за­ тем неожиданно падает до нуля. Таким образом, непосредствен­ но на поверхности возникает громадный градиент, который в со­ ответствии с выражением (36.7) даст огромную плотность тока. Предположим, что мы наблюдаем за тем, что происходит вблизи точки С на фиг. 36.2. Если выбрать направления осей х и у

так, как это показано на фигуре, то намагниченность М будет направлена по оси г. Выписывая компоненты уравнения (36.7),

мы получаем

Хотя -производная dMjdy в точке С равна нулю, производная dMJdx будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси у течет ток огром­

ной плотности. Это согласуется с нашим представлением о по­ верхностном токе, текущем вокруг цилиндра.

Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном слу­ чае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точ­ ке. Качественно нетрудно понять, что если в двух соседних обла­ стях намагниченность различная, то полной компенсации цир­ кулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим полу­ чить количественно.

Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы выясни­ ли, что циркулирующий ток I создает магнитный момент

где А — площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).

Рассмотрим маленький прямоугольный кубик внутри намагни­ ченного материала (фиг. 36.4). Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси г рав-

Ф и г . 36.3. Дипольный момент ц кон­ тура т от равен IA .

13S

Ф и г . 36.4. Небольшой намагниченный кубик эквивалентен циркулирующему поверхностному току.

на Л1„ то полный эффект будет таким, как будто по вертикаль­ ным граням течет поверхност­ ный ток. Величину этого тока мы

можем найти из равенства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен произведению намагниченности на объем:

H = Mz{abc),

откуда, вспоминая, что площадь равна ас, получаем

I = Mzb.

Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна Mt.

Представьте теперь два таких маленьких кубика, располо­ женных рядом друг с другом (фиг. 36.5). Кубик 2 несколько сме­ щен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компо­ нента намагниченности будет немного другой, скажем MZ+AA[г.

Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику / в положительном направлении по оси утечет ток h, а по кубику 2 в отрицательном

направлении течет ток / 2. Полный поверхностный ток в поло­ жительном направлении оси у будет равен сумме

I = I i —l t = Mzb—(Mz + Ш г)b= ~ AMJ>.

ностный ток.

х

139

Величину AM г можно записать в виде произведения производ­

Чтобы связать ток I со средней объемной плотностью тока j,

необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по не­ которой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем материала, то за такое сечение (перпендикулярное оси дс) может быть выбра­ на боковая грань одного из кубиков *. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади ab одной из

фронтальных граней. В- результате получаем

Наконец-то у нас начинает получаться ротор М.

Но в выражении для jtJ должно быть еще одно слагаемое,

связанное с изменением х-компоненты намагниченности с изме­ нением г. Этот вклад в j происходит от поверхности между двумя

маленькими кубиками, поставленными друг на друга (фиг. 36.6). Воспользовавшись только что проведенными рассуждениями, мы можем показать, что эта поверхность будет давать в величину

* Или, если хотите, ток / на каждой грани может быть поровну распреде­ лен на кубиках с двух сторон.

140