Материал: 1944

Основные понятия

Формула

Определение

z x iy

– комплексное число, гдеx Rez –

действительная часть z, y Im z – мнимая

комплексного

часть z, i

– мнимая единица,

числа

удовлетворяющая условию: i2 1

Равенство комплексных

x1 iy1= x2

iy2 x1

x2;

y1 y2.

чисел

Комплексно

z

x iy

сопряженное число

z z R

z

Y

y=Imz

z

Изображение

r

z

комплексного числа

X

x=Rez

Модуль комплексного

r

z

x2 y2

;

z

0

числа

arg z;

arg z

x

сos

,

z

y

sin

,

z

Аргумент комплексного

числа (главное значение

y

если

x 0,

аргумента)

arctg

,

y

x

= arctg

,

если

x 0,

y 0,

x

y

если

x 0,

y 0

arctg

,

x

Множество значений

Arg z 2 k,

k Z

аргумента

Формы

Алгебраическая

Тригонометрическая

Показательная

z1 x1

iy1

z

1

r

cos

1

isin

1

z

1

r ei 1

z2

x2

iy2

1

cos

1

Операции

z

2

r

2

isin

2

z2

r2e

i 2

2

Сложение

z1 z2 x1 x2

–

–

i y

y

2

1

Умножение

z1z2 (x1x2

y1y2)

z1z2 r1r2 (сos( 1 2)

z

z

2

r r ei( 1 2 )

i(x1y2 x2y1)

isin( 1

2 ))

1

1

2

z1

z1

z

2

z2

z2

z

2

z1

r1

x x

2

y y

2

(cos( 1 2 )

z

r

Деление

1

1

z2

r2

1

1

ei( 1

2)

x

y2

2

z

r

isin( 1 2))

2

2

2

2

i

x2 y1 x1y2

x22 y22

Возведение

–

zn rn(cosn

zn

rnen

в степень

isinn )

n

n

(cos

2 k

z

r

Извлечение

–

2 k

n

–

isin

корня

)

n

k 0,1,2, ,n 1,

Основная теорема алгебры

Формулировка теоремы

П р и м е р

Любое

уравнение

типа

Решить уравнение x2 2x 5 0.

a0 a1x a2x2

... anxn 0

имеет

Р е ш е н и е. D 4 4 5 16 0.

ровно n корней (действительных или

Имеем

комплексно-сопряженные

2 4i

комплексных).

корни :

x1,2

1 2i

2

Необходи-

Решение примеров

мая

операция

Сложение

2 3i 5 4i (2 5) i( 3 4) 3 i

Умножение

2 3i 5 4i = 10 8i 15i 12i2