Материал: 1944

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3.	Интегралы	вида	sinmxcosnxdx,	cosmxcosnxdx,
sinmxsinnxdx интегрируются			на основании тригонометрических

формул:			sinmxcosnx 1 sin m n x sin m n x ,
			sinmxcosnx 1 sin m n x sin m n x ,
					2
			cosmxcosnx 1 cos m n x cos m n x ,
					2
			sinmxsinnx 1 cos m n x cos m n x ,
					2	sin x sin x.
				cos x cos x,		sin x sin x.
			Интегрирование иррациональных функций
	Случай								Подстановка
R x,n xm ,q xp ,...,g xs dx					x tk , где k				− наименьшее общее кратное
R x,n ax b dx					показателей корней, т.е. чисел n, q,...,g
R x,n ax b dx					ax b tn
		n	ax b		ax b		n
		n	ax b		ax b	t	n
R x,			cx d	dx	cx d	t
			cx d		cx d
R x,			a2 x2 dx		x asint			x acost
R x,			x2 a2	dx	x atgt	x actgt
R x,			x2 a2	dx	x a/cost				x a/sint
					Подстановки Эйлера:
R x,	ax2 bx c dx				1) a 0 ax2 bx c t x a
R x,	ax2 bx c dx				2) c 0 ax2 bx c tx c
					3) x1,x2 действительные корни уравнения
					ax2 bx c 0					ax2 bx c x x t
										1
					p − целое число x tq , q − общий
					знаменатель дробей m и n
Биноминальные выражения					m 1 − целое число a bxn tr , r −
Биноминальные выражения					n
xm a bxn pdx					n
xm a bxn pdx					знаменатель дроби p
					m 1 p − целое число a x n b tr ,
					n
					r − знаменатель дроби p
					30

Определённый интеграл, его свойства и вычисление

Определение

Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке a,b .

Разобьём отрезок a,b на n частей точками a x0 x1 x2 ... xn b.

Выберем на каждом элементарном отрезке xi 1,xi произвольную точку i

и обозначим через xi xi xi 1 длину каждого такого отрезка.

Интегральной

суммой для

функции

y f (x)

на

отрезке

a,b

) x

f ( ) x

f (

) x

... f (

) x

называется сумма вида f (

i 1

y f (x)

отрезке a,b

Определённым интегралом

от

функции

на

называется предел

интегральной

суммы

при xi

0, не

зависящий от

способа разбиения отрезка a,b на части, ни от выбора точек i в них.

b	n
Обозначение: f (x)dx	lim f ( i ) xi , где x − переменная
a	max xi 0i 1

интегрирования, a и b − нижний и верхний пределы интегрирования.

Теорема существования определённого интеграла: Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a,b , то она интегрируема на нем.

Свойства

Аддитивность по области	b	c	b
Аддитивность по области	f x dx f x dx f x dx
интегрирования	f x dx f x dx f x dx
интегрирования	a	a	c
	a	a	c
Аддитивность	b	b	b
Аддитивность	f x g x dx f x dx g x dx
по функции	a	a	a
	a	a	a
	b	b	f x dx
Однородность	k f x dx k		f x dx
	a	a
Интегрирование		b	b
Интегрирование	f x g x f x dx g x dx
неравенств		a	a
		b
Теорема «о среднем»	c a;b : f (x)dx f (c)(b a)
		a
Перестановка пределов	b	a
Перестановка пределов	f	x dx f x dx
интегрирования	f	x dx f x dx
	a	b
Производная от интеграла с	x
переменным верхним пределом			f (x)
интегрирования		f (t)dt	f (x)
интегрирования	0

Методы вычисления определенного интеграла

Название метода

Формула

П р и м е р

Формула

f (x)dx F(x)

ln xdx

(ln x)2

Ньютона–

Лейбница

ln xd(ln x)

F(b) F(a);

(lne2 )

(lne)

где F (x)

f (x)

Интегрирование

по частям

udv uv

vdu

xcosxdx xsin x

sin xdx

sin cosx|0 cos cos0 2

Интегрирование

x (t)

x 1

подстановкой

f (x)dx ( ) a

xdx

2tdt dx

2tdt

( ) b

x 1

x 3 t 2

x 8 t 3

f ( (t)) (t)dt

2 t2 1dt

Несобственные интегралы

I род Интеграл с бесконечным

II род

пределом

Интеграл от функции, имеющей разрыв

	f x dx	b	f x dx,
	f x dx	lim	f x dx,	b	c	b
a		b a			f x dx lim	f x dx lim f x dx
b		b		a	0 a	0 c
f x dx		lim f x dx		где x c − точка разрыва II рода, a c b
		a a

Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. При наличии конечного предела говорят, что интеграл

сходится.

П р и м е р

lim

b dx

1 x2

lim

Интеграл сходится.

4	dx	4		dx		2		4
			lim		lim

0	x x			x x			x
0	x x			x x			x
			0		0

lim 1 .

Интеграл расходится

Геометрические приложения определённого интеграла

Площадь плоской области

Площадь криволинейной трапеции

1-й случай

x a;b : f (x) 0

y f (x)

S f (x)dx

2-й случай

y c;d : (y) 0

S (y)dy

x (y)

3-й случай

Кривая задана параметрическими

уравнениями:

x x t ,

t ;

S y t x t dt

y(t) 0;

y y t ,

Площадь плоской области в декартовых координатах

1-й случай

b X

x a;b : f (x) 0

f x

y f (x)

2-й случай

y f2(x)

x a;b ; f2 (x) f1(x)

f2 x f1 x dx

y f1(x)

Окончание таблицы

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

r r( )

r2 d

Длина дуги кривой

Способ задания кривой

Формула

y f x

1 f 2 x dx

r r( )

r2 r 2d

x x t ,

t ;

x 2 t y 2 t dt

y y t ,

Объемы и площади тел вращения

Вращение криволинейной

тра-

пеции,

ограниченной непрерывной

y f (x)

кривой

y f (x),

осью абсцисс и

прямыми

x a

x b вокруг

2 x dx ,

оси ОХ: VOX f

оси ОY: V 2 x f x dx.

SOX 2 f x 1 f 2 x dx

Вращение

криволинейной

трапеции, ограниченной непре-

рывной

кривой

x (y),

осью

x (y)

ординат и прямыми

y c и

y d

вокруг

оси ОУ: V

2 y dy

Источник: https://studfile.net/preview/16408001/

Смотрите также:



ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.