Материал: 1944

Определение и обозначение

Геометрический и физический смысл

интеграла

Криволинейный интеграл I

Если

(x,y)

–

плотность

неоднородной материальной кривой L,

рода от функции f(x,y) по кривой

то (x, y)dl m–

масса

плоской

(L) :

L

n

кривой ,

f (x, y)dl lim

dxdy l– длина плоской кривой L.

f ( k , k ) lk ,

L

0k 1

L

где

– длины дуг,

на

Если

y f (x,y)

–

направляющая

lk (k 1,n)

цилиндрической

поверхности,

которые разбита кривая;

–

образующая которой параллельна оси

наибольшая из длин дуг;

( k , k ) –

ОZ,

то f (x,y)dl Q –

площадь

произвольная точка на k -м участке.

L

Y

L

поверхности,

задаваемой

функцией

lk

y f (x,y).

B

Z

A

X

Y

X

A

B

Поверхностный

интеграл I рода

Если

(x, y, z)

–

плотность

от

функции

f(x,y,z)

по

распределения массы

материальной

поверхности:

поверхности

,

то

(x, y,z)d m–

n

f (x, y, z)d lim f ( k , k , k ) k ,

масса поверхности.

0k 1

Z

k

где

k (k

)

−

площади

1,n

участков, на которые разбита

поверхность ; – наибольший из

диаметров участков;

( k , k , k )

–

Y

произвольная точка на k -м участке

X

d S – площадь поверхности

Свойства

Формула

Аддитивность

( f1(x, y) f2(x, y))dl f1(x, y)dl f2(x, y)dl

по функции

L

L

L

Аддитивность

f (x,y)dl

f (x,y)dl f (x, y)dl ,

по области

L

L1

L2

интегрирования

где путь интегрирования L L1 L2

Однородность

c f (x,y)dl c f (x,y)dl

L

L

Теорема

М0(х0, y0) L, f (x,y)dl

f (x0,y0) l

о среднем

L

Интегрирование

(x;y) L : f (x,y) g(x, y) f (x,y)dl g(x,y)dl

неравенств

L

L

Интеграл

f (x, y)dl

f (x,y)

dl

по

модулю

Д

L

Незваисимость

f (x,y)dl f (x, y)dl

интеграла от

AB

BA

направления пути

интегрирования

Приложения

Криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл

Ix y2 (x,y)dl

Ix (y2 z2) (x,y,z)d

Моменты

2

z

2

) (x,y,z)d

L

Iy (x

инерции

Iy x2 (x,y)dl

L

Iz (x2 y2) (x, y,z)d

Mx y (x,y)dl

Myz x (x,y,z)d

Статические

Mxy

z (x,y,z)d

My

L

моменты

x (x,y)dl

L

Mxz y (x,y,z)d

Координаты

x

My

y

M

Myz

M

Mxy

центра

;

x

; y

xz ;

z

c

m

c

m

x

тяжести

c

mV

c

mV

c

mV

D

D

Формулы

П р и м е р

кривой интегрирования:

Вычислить

xy2dl ,

где

L –

x x(t), y y(t),t t1,t2 .

L

t2

отрезок

прямой

между

f (x, y)dl f (x(t), y(t))

2

y

2

точками О(0;0) и А(4;3).

x (t)

(t) dt

Р е ш е н и е

L

t1

2.

Явное

представление

кривой

Уравнение прямой ОА есть

интегрирования:

3

0 x 4.

Кривая

y y(x),

x a,b .

y

x,

4

3

3

b

f (x, y)dl f (x, y(x)) 1 y (x) 2 dx

задана явно.

x

.

4

4

L

a

2

2

4

3

3

2

3.

Полярное

представление

кривой

xy

dl

x

x

1

dx

интегрирования:

L

0

4

4

r r( ), , .

45

4

x3dx 45

64

0

r 2 d

f (x, y)dl f (r cos ,rsin ) r2

L

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Формулы

П р и м е р

Если

поверхность

задана

на

Вычислить (x 3y 2z)d ,

области D плоскости OXY функцией

z z(x, y), то

где – часть плоскости

f (x, y,z)d

4x 3y 2z 4 0,

расположенной в

первом октанте.

f (x, y,z(x, y))

1 zx 2

zy 2

dxdy

Р е ш е н и е

D

Запишем уравнение плоскости в виде

z 2 2x

3

y . Находим

Z

k

2

3

.

zx 2, zy

2

(x 3y 2z)d =

Y

(x 3y 4 4x 3y)

D

D

X

1 4

9

dxdy

29

9

4

Определение и обозначение

Геометрический и физический смысл

интеграла

Криволинейный интеграл II рода

Если

P(x, y)i Q(x, y) j

–

вектор

F

от векторной функции

силы,

перемещающей

точку по

кривой L, то Pdx Qdy A –

работа

P(x, y)i Q(x, y) j поплоской кривой:

F

n

L

переменной силы по перемещению

P(x, y)dx Q(x, y)dy lim (P( k , k ) xk

точки вдоль кривой,

L

0 k 1

где xk – проекция элементарной

Y

Fk

B

дуги lk

на ось ОХ; yk – проекция

yk

sk

элементарной дуги lk на ось OY;

A

xk

X

( k , k )

– произвольная точка на k -м

1

участке. Если, sk xk i yk j , то

Pdx Qdy S(D) – площадь

P(x, y)dx Q(x, y)dy Fds.

2

D

области D, где

D –

граница

L

L

Pdx Qdy – криволинейный

области D

L

интеграл по замкнутой кривой L

Поверхностный интеграл II рода от

Если

векторной функции

F

P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k –

F P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z)k

вектор скорости

потока

жидкости,

протекающей

через двустороннюю

по поверхности:

поверхность

,

одна

из

сторон

F n d (Pcos Qcos Rcos )d которой

выбрана

для

построения

нормалей,

то F nd П

–

поток

Pdydz Qdzdx Rdxdy,

жидкости

через выбранную сторону

где

cos i i cos i

j cos ik −

ni

поверхности

единичный вектор нормали к i ;

Z

n

i

Fi

ni

X

Y

F nd

– интеграл

по замкнутой

i

поверхности

Свойства

Формула

Однородность

Fds с Fds

L

L

Аддитивность по области

Fds Fds

Fds

интегрирования

AB

AC

CB

Аддитивность по функции

(F1 F2 )ds

F1ds F2ds

интегрирования

L