Материал: 1944

1

2

3

Векторная формулировка теоремы Стокса:

Ротор

поля

нап-

ad rotn а d

равлен

параллельно

L

оси вращения, его

Z

модуль

равен

Связь

удвоенной

угловой

n

скорости.

С

точ-

между

ностью

до

число-

характе-

вого

множителя

ристиками

L

Y

ротор

поля

ско-

X

ростей

представ-

ляет собой угловую

скорость

вращения

твердого тела

Вид поля

Свойства

П р и м е р ы

1.П an0d div а dV 0.

Поле

линейных

скоростей

вращающегося твердого тела.

Соленои-

V

Для

поля

скоростей

текущей

2.П an0d

an0d , где

жидкости П=0 означает, что

дальное,

1

2

количество жидкости,

входящей

div а 0

1, 2

– произвольные

в трубку за единицу времени,

поперечные сечения векторной

равно

количеству

жидкости,

вытекающей из нее, т.е.

в поле

трубки

нет источников и стоков

1. u(x, y, z)

Для

силового

потенциального

– потенциал поля:

поля равенство C=0, означает,

Потенци-

а grad u.

что работа силы по любому

замкнутому

контуру

равна

альное,

2. а d u(B) u(A).

нулю. В поле скоростей текущей

rot а 0

AB

жидкости

равенство

C=0

3.С rotаn0d 0

означает, что в потоке нет

замкнутых

струек

(водо-

воротов)

Гармони-

divа divgradu

Поле

линейных

скоростей

u

u

u

ческое,

div(

i

j

k)

стационарного

безвихревого

div а 0,

x

y

z

потока жидкости при отсутствии

rot а 0

2u

2u

2u

в нем источников и стоков

является гармоническим

x2

y2

z2 u 0

Понятия

ДУ 1 порядка

ДУ 2 порядка

Общий вид

F(x, y, y ) 0

0

F(x, y, y , y

)

ДУ,

y f (x, y)

разрешенное

или в дифференциальной

y

относительно

форме

f (x, y, y )

производной

P(x; y)dx Q(x; y)dy 0

y

y f

(x, y),

f (x, y, y ),

Задача Коши

y(x0) y0,

y(x0) y0

(x0)

y0

y

Y

y (x,С1 ,С2 )

Y

t

y (x,C0)

y0

y0

X

X

0

x0

x0

0

Геометри-

y (x,C)

–

общее

y (x,C1,C2 )

–

общее

решение,

представляет

ческая

решение.

интерпретаци

семейство

интегральных

,С

)

–

частное

я решения ДУ

кривых.

y (x,C

y (x,C0)

–

частное

1

2

решение ДУ, удовлетворяющее

решение

ДУ,

начальным условиям

удовлетворяющее

y(x0) y0 ,

y (x0 ) y0 .

начальному

условию

Решение задачи Коши состоит

y(x0) y0.

Коши

в

нахождении

интегральной

Решение

задачи

кривой,

проходящей через

состоит

в

нахождении

точку

(x0; y0 )

и

имеющей

интегральной

кривой

данный

угловой

коэффициент

y (x,С0),

проходящей

y0

касательной t

через точку (x0; y0 )

иалах

если

M

N

x

y

Формулировка теоремы

Формула

Общее решение ЛОДУ

y p(x)y q(x)y 0

y C1 y1 C2 y2 ,

есть линейная комбинация двух линейно-

где C ,C

2

– произвольные

независимых частных решений

1

постоянные

y1 y1(x) и y2 y2 (x)

Общее решение ЛНДУ

y y y ,

где y – произвольное частное

y p(x)y q(x)y f (x)

решение ЛНДУ;

– общее

есть сумма его произвольного частного

y

решения ЛНДУ и общего решения

решение соответствующего

соответствующего ЛОДУ

ЛОДУ

y py qy f1(x) f2 (x)

y

есть сумма частных решений уравнений

y1

y2 ,

где y1

и y2 − частные

y

py qy

f1(x),

(1)

y

py qy

f2 (x)

(2)

решения уравнений (1) и (2)

ЛОДУ

y py qy 0

1.

Характерис-

k2

pk q 0

(т.к. вид частного решения y ekx )

тическое

уравнение

2.

Дискриминант

D 0

D 0

D 0

D p2 4q

3.

Корни

k1 i C

характе-

k1 k2 R

k1 k2 k R

ристического

k2 i C

уравнения

4.

Общее

C ek1x

C

2

ek2x

C ekx xC

2

ekx

e x (C1 cos x

решение

1

1

C2 sin x)

Вид правой части

f (x) e xP (x)

f (x) e x[P (x)cos x

f (x)

n

n

Qm (x)sin x]

Вид частного

y xre xQn (x),

y xre x[PN (x)cos x

решения

где

–

корень

QN (x)sin x],

кратности

r

где i – корни кратности r

характеристического

характеристического уравнения;

уравнения;

PN (x) и QN (x) – многочлены

Qn (x)– многочлен

степени N max(n;m)

степени n,

записанный в общем

виде

Подбор частного решения по виду правой части