Материал: 1944

Формулы

П р и м е р

Параметрическое представление

Найти работу силы

кривой

интегрирования

F (8x 4y 2)i (8y 2) j, где L –

x x(t), y y(t),t t ,t

2

:

контур ОВА, пробегаемый в

1

P(x,y)dx Q(x, y)dy

положительном

Y

6 A

направлении, и

L

A(3,6), B(0,6),O(0,0)

t2

Р е ш е н и е

P(x(t),y(t))xt Q(x(t),y(t))yt dt

t1

По свойству

3 X

аддитивности:

O

B

.

L

OB

BA

AO

x 0,3,

Явное

представление

кривой

АО: y 2x,

dy 2dx,

интегрирования

(8x 4y 2)dx (8y 2)dy

y y(x),

x a,b :

АO

0

(8x 4 2x 2)dx (8 2x 2) 2dx 234.

3

x 0,3,

P(x, y)dx Q(x, y)dy

ОВ: y 0,

dy 0,

L

(8x 4y 2)dx (8y 2)dy

b

OB

P(, y(x)) Q(x, y(x))y (x)dx

3

a

(8x 2)dx 42.

Y

0

y 0,6 ,

ВА: x 3,

dx 0,

Fk

B

(8x 4y 2)dx (8y 2)dy

ВА

6

A

(8y 2)dy 156.

0

X

А 243 42 156 36.

a

b

Проверим

полученный

результат,

используя формулу Грина. Имеем

замкнутый контур – треугольник ОВА.

Py (8x 4y 2)y 4, Qx (8y 2)x 0,

3

2y

A 4dxdy 4 dx dy 36

D

0

0

Формулы

П р и м е р

F n d (Pcos Qcos Rcos )d .

Вычислить xdydz zdzdx 5dxdy.

Если поверхность задана на области D

А)

По

верхней

стороне части

плоскости OXY функцией z z(x, y), то

плоскости

2x 3y z 6,

лежащей

Rcos d R(x, y,z(x, y)) dxdy,

в IV октанте.

Dxy

Б) По внешней стороне пирамиды,

где Dxy

– проекция поверхности

на

ограниченной

плоскостями

ОXY. Знак плюс или минус перед

2x 3y z 6,

x 0, y 0, z 0.

двойным

интегралом

берется

в

Р е ш е н и е

зависимости от

ориентации поверхности

(cos

будет

положительным

или

Z

6

отрицательным).

n

Dyz

n

Z

Z

Dxz

n

-2

Y

Y

Y

3

X

X

X

А)

Нормальn (2; 3;1),

соответ-

Аналогично:

ствующая

указанной

стороне

Rcos d R(x(y,z), y,z) dydz;

поверхности,

образует с осью OY

Dyz

тупой угол, а

осями OX и OZ –

Rcos d R(x, y(x,z),z) dxdz;

острые углы.

Dxz

сos

nx

2

2

0.

F n d (Pcos Qcos Rcos )d

n

4 9 1

14

P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

3

1

cos

0,

cos

0.

P(x(y, z)y, z)dydz

Q(, y(x, z)z)dxdz

14

14

xdydz zdzdx 5dxdy

Dyz

Dxz

R(x, y,z(x, y,))dxdy

Dxy

( 3

3

y

z

)dydz

Dyx

2

2

zdzdx 5 dxdy 9.

Dxz

Dxy

Основные

Формулы и поясняющие рисунки

П р и м е р

понятия

1

2

3

Определе-

Векторное поле – часть пространства, в

Поле

линейных

ние поля

каждой точке М(x,y,z)

которого задана

скоростей

векторная функция

вращающегося тела

ax (x,y,z)i ay (x, y,z) j az (x,y,z)k .

имеет вид:

a

V yi x j

Для плоского поля a ax (x,y)i ay (x,y) j

Z

Геометри-

Векторные линии – кривые, в каждой

V

ческие

точке которых вектор поля направлен по

характерис-

касательной:

dx

dy

dz

.

M(x, y,z)

тики

ax

ay

az

r

Векторная трубка – поверхность,

Y

образованная векторными линиями

Поток

Поток вектора а через поверхность

–

X

вектора

интеграл по поверхности от скалярного

через

произведения вектора поля на единичный

Найти:

поверх-

вектор нормали к поверхности:

А) векторные линии

ность

П anod

поля;

Б)

дивергенцию

поля;

Диверген-

Дивергенция вектора а – скаляр, равный

В)

циркуляцию

ция

объемной

плотности

потока

в

вектора поля;

векторного

рассматриваемой точке поля:

Г) ротор поля.

поля

an0d

Р е ш е н и е

А) Имеем

плоское

div а lim

,

векторное поле:

V 0

V

ax y, ay x.

где – замкнутая поверхность,

dx

dy

dz

ограничивающая объем V; n0 – орт ее

внешней нормали;

объем

V 0

y

x

0

xdx ydy,

стягивается к рассматриваемой точке.

Расчетная формула:

0 dy xdz.

div a

ax

ay

az

Интегрируем:

x2 y2 c1,

x

y

z

Связь

Векторная формулировка теоремы Гаусса

z c2.

между

– Остроградского:

Т.о., векторные ли-

характерис-

П

an

0

div a dV

нии – окружности с

центрами на оси OZ,

тиками

d

лежащие в плоскос-

V

тях, перпендикуляр-

ных к этой оси

Продолжение таблицы