Материал: 1944

Основные

Определение

понятия

Понятие

a1 a2

a3

... an

числового ряда

... an – числовой ряд, где

n 1

a1,a2,...,an,... − члены ряда, образующие бесконечную

последовательность; an

− общий член ряда. Ряд задан, если

an f (n)

Виды числовых

– знакоположительный, если an 0 .

рядов

Ряд

an

n 1

Ряд

an ,

содержащий бесконечное

множество

положи-

n 1

тельных и бесконечное множество отрицательных членов,

называется знакопеременным.

Ряд a a

a

...

1 n 1a

...

–

2

3

n

1 n 1a

n

1

n 1

знакочередующийся , где an 0

Частичные

S1 a1,

S2

a1 a2 ,…

суммы ряда

Sn a1

a2

... an − n-я частичная сумма ряда

Сходимость и

Если

lim Sn

S, то ряд называется

сходящимся,

а S –

сумма ряда

n

суммой ряда, в противном случае − ряд расходящийся

Свойства рядов

1. Если

an

сходится и его сумма равна S , то can , где c

n 1

n 1

− произвольное число, также сходится и его сумма равна сS .

S

и S

2. Два сходящихся ряда an и

bn

с суммами

n 1

n 1

bn

можно почленно складывать или вычитать. Ряд an

сходится и имеет сумму S S .

n 1

3. Если у сходящегося (расходящегося) ряда отбросить

конечное число его членов, то полученный ряд также будет

сходится (расходится)

Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости числового ряда

сходится, то lim an

0.

Если an

n 1

n

Следствие. Если lim an 0, то

an расходится.

n

n 1

Название

Определение

Если an bn n,

то:

Первый

сходимость ряда

1) из сходимости ряда

bn

an ;

признак

n 1

n 1

сравнения

2) из расходимости ряда an

расходимость ряда bn

n 1

n 1

Если lim

an

c

0 c , то:

n b

n

1) при 0 c

Второй

an

и

bn

сходятся и

расходятся

одновременно;

n 1

n 1

признак

сравнения

2) при с 0 из сходимости

bn сходимость

an ;

n 1

n 1

3) при с из расходимости

bn расходимость an

n 1

n 1

Признак

lim

an 1

p

p 1,рядсходится;

Даламбера

n an

p 1,рядрасходится;

Радикальный

n

признак

lim

an

p

p 1,признакне работает

Коши

n

Пусть f x − положительная, непрерывная и убывающая

Интеграль-

функция на 1, ,

такая, что a1 f 1,

a2 f 2,...,an f n,...,

f x dx

ный признак

Если соответствующий несобственный интеграл

Коши

1

сходится (расходится), то и ряд

an

сходится (расходится)

n 1

Ряды-эталоны

Сходимость рядов

П р и м е р

1

сходится

q

1, ряд сходится;

Геометрическая

n

aqn

n 13

прогрессия

n 1

q

1, ряд расходится

(q

1

1)

3

1

расходится

Обобщённый

1

1,

ряд сходится;

n

n 1

гармонический

0 1,

ряд расходится

1

n 1

ряд

n

(

1)

2

Рекомендации к использованию признака Даламбера

Признак целесообразно применять, когда общий член содержит

n!(n ! 1 2 3 4 ... n

– n-факториал). При n для приближенного

Виды

Определение

сходимости

Абсолютная

сходимость

Знакопеременный ряд

an сходится абсолютно, если ряд

n 1

an

, составленный из абсолютных величин, сходится

n 1

Условная

сходимость

Знакопеременный ряд

an сходится

условно, если сам он

n 1

сходится, а ряд

an

расходится

n 1

Достаточный

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

признак

сходимости

1 n 1an сходится, если:

для

n 1

1) последовательность абсолютных величин членов ряда

знакочередую-

монотонно убывает, т.е. n:an an 1;

2) lim an 0

щегося ряда

n

Степенные ряды. Основные понятия

Основные

Определение

понятия

Понятие

степенного

a0 a1(x x0) ... an(x x0)n ... an (x x0)n – степенной

ряда

n 0

ряд,

разложенный

по

степеням

x x0 ,

где

постоянные

a0,a1,...,an,..., – коэффициенты ряда; x R − действительная

переменная;

x0 − некоторое постоянное число

Сходимость

Область сходимости – множество всех точек

сходимости.

степенных

Областью сходимости

служит

промежуток

x0

R,x0

R ,

рядов

дополненный, быть может, его концами.

Число R – радиус сходимости. Если ряд сходится во

всех

точках,

то R .

Радиус сходимости определяют по формуле:

R

1

илиR lim

an

an 1

lim n

an

n

n

Свойства

1.

Сумма степенного ряда − непрерывная функция в интервале

степенных

сходимости x0 R,x0

R .

рядов

2.

Степенные ряды

(x x

)n

и

)n

внутри

a

n

0

b (x x

0

n 0

n

n 0

интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и

умножать.

3.

Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно

d(x x

0

)n

дифференцировать:

an

nan (x x0)n 1 .

dx

n 0

n 0

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно

интегрировать: x x0 R,x0 R .

x

n

a

n 1

5.

an t

x0 dt

n

x x0

n 0 x0

n 0n 1

Виды

Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции

f (x)в

степенных

окрестности точки x a :

рядов

f (x) f a

f a

x a

f a

x a 2

...

f n a

x a n ...

1!

–

2!

n!

Ряд

Маклорена

частный

случай

ряда

Тейлора

при

x 0: f (x) f 0

f 0

x

f 0

x2

...

f n 0

xn

...

1!

2!

n!

Основные

Определение

понятия

Сходимость

Представим функцию в виде:

f (x) Sn (x) Rn(x),

функции к

где Sn(x) f a

f a

x a

f a

x a 2 ...

f

n

a

x a n ;

ряду Тейлора

1!

2!

n!

Rn (x)

f (n 1) (c)

(x a)n 1,c a,x

− остаточный

член

в форме

(n 1)!

Лагранжа.

Теорема.

Ряд

Тейлора

сходится

к

функции

f (x) lim R

n

(x) 0

n

Разложение

Область

сходимости

ex

1 x

x2

x3

...

xn

...

x R

n!

2!

3!

x3

x5

n 1

x2n 1

sinx x

... 1

...

x R

3!

5!

2n 1!

x2

x4

n

x2n

cosx 1

... 1

...

x R

2!

4!

2n !

ln 1 x x

x2

x3

x4

... 1 n 1

xn

...

x 1,1

2

3

4

n

x 1,1 ,

если m 0;

1 x m 1 mx

m m 1

x2

m m 1 m 2

x3 ...

x 1,1 ,

если

1 2

1 2 3

1 m 0;

x 1,1 , если

m 1

arctg x x

x3

x5

... 1 n 1

x2n 1

...

x 1,1

3

5

2n 1

1

1 x x2

x3

... 1 n xn ...

x 1,1

1 x