Материал: 1944

Основные понятия

Определение

Тригонометрический ряд Фурье

f

x

a0

для функции f x на отрезке

(an cosnx bn sinnx),

2

,

n 1

где

a0,an,bn − коэффициенты

Фурье,

вычисляемые по формулам:

1

a

0

f (x)dx;

1

an

f (x)cosnxdx,

n 1,2,...;

1

b

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

n

Тригонометрический ряд Фурье

a0

nx

nx

для функции f x на отрезке

f (x)

an

cos

bn sin

,

2

l

l

l,l

n 1

1 l

где a

0

f (x)dx;

l

l

nx

1 l

an

f

(x)cos

dx,

n 1,2,...;

l

l

l

1 l

nx

b

f (x)sin

dx,

n 1,2,...

l

n

l l

Достаточное условие

Теорема Дирихле. Если функция f (x)

разложимости функции в ряд

непрерывна или имеет конечное число

Фурье

точек разрыва I рода на отрезке , и

при этом монотонна или имеет конечное

число экстремумов на , , то ряд

Фурье функции

f (x) сходится

x , и его сумма равна:

1) f (x) для всех точек непрерывности

x , ;

f x0 0 f x0

0

2)

для всех точек

2

разрыва I рода x0 ;

3)

f 0 f 0

при x и

2

x

Окончание таблицы

Основные понятия

Определение

Разложение в ряд Фурье четных

f x на отрезке , четная, то bn

0;

и нечетных функций

2

a0

f (x)dx ;

0

2

an

f (x)cosnxdx,

n 1,2,...

0

f x на отрезке , нечетная, то

a0 0;

an 0;

2

bn

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

0

Представление

Разложение в ряд Фурье функции f x

непериодической функции

на произвольном промежутке 0,l

рядом Фурье

Разложение по синусам

l

l

X

нечетную функцию

f (x) на l,l .

Разложение по косинусам

1.

Доопределить

f x четным образом

на l,0 .

Y

X

l

l

2.

Разложить в ряд полученную четную

функцию

f (x) на l,l

2

Однородное волновое уравнение: Utt

(x,t) a Uxx(x,t)

Первая краевая задача

n

an

an

Начальные условия:

U(x,t) sin

x A cos

t B

sin

t

U(x,0) f (x),

0 x l;

n 1

l

n

l

n

l

Ut (x,0) (x),

0 x l.

An

2

l

f (x)sin

n

xdx,

l

Граничные условия:

0

l

U(0,t) 0, U(l,t) 0,

2

l

n

xdx, n 1,2,...

t 0 − концы струны x 0 и

Bn

(x)sin

an

x l

жестко закреплены

0

l

Вторая краевая задача

n

an

an

Начальные условия:

U(x,t) cos

x A cos

t B sin

t

l

l

l

n 0

n

n

U(x,0) f (x),

0 x l;

1l

2 l

n

Ut (x,0) (x),

0 x l.

A0

f (x)dx , An

f

(x)cos

xdx,

l

l

l

Граничные условия:

0

2

l

0

n

Ux(0,t) 0, Ux(l,t) 0,

B0 0,

Bn

(x)cos

xdx,

n 1,2,...

an

l

t 0 − концы струны свободны

0

Задача Коши

Бесконечная струна:

Формула Даламбера:

x , t 0.

f (x at) f (x at)

1 x at

Начальные условия:

U(x,t)

(x)dx

2

U(x,0) f (x);

2a x at

Ut (x,0) (x);

0 x l

U

2

U

2

2

U

Уравнение параболического типа

a2

U

, или

t

x

2

y

2

z

2

2

Уравнение теплопроводности: Ut a Uxx

Первая краевая задача

U

2 U1

an 2

Начальное условие:

U(x,t) U

x

t

n

U(x,0) f (x),

0 x l;

1

C e

l

sin

x

l

n

l

n 1

Граничные условия:

2 l

n

U(0,t) U1, U(l,t) U2 ,

Cn

f (x)sin

xdx, n 1,2,...

l

t 0

0

l

Вторая краевая задача

an

2

t

cos

n

x,

Начальное условие:

U(x,t)

Cne

l

U(x,0) f (x), 0 x l;

1l

n 0

2 l

l

Граничные условия:

n

C0

f (x)dx,

Cn

f (x)cos

xdx ,

l

l

Ux(0,t) 0

, Ux(l,t) 0,

0

0

l

t 0

n 1,2,...

Задача Коши

Интеграл Пуассона:

Начальное условие:

1

( x)2

U(x,0) f (x),

2

x

U

(x,t)

f ( ) e

4a

t d

2a t

Уравнение Лапласа

Уравнение

эллиптического

типа

2U

2U

2U

0,

или

x2

y2

z2

A

U(r, )

0

A cosn B

n

sinn rn ,

2

n

n 1

1

1

A

f ( )d , A

f ( )cosn d ,

0

n

Rn

1

B

f ( )sinn d , n 1,2,...

n

Rn

Объединение

C с|с Aили с B

U

A

C A B

B

U

A B

Пересечение

C с|с Aи с B

C A B

A

B

Разность

U

A \ B

C A B

C с|с A и с B

или