Материал: 1944

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Неопределённый интеграл и его свойства

f x dx F x C,

где F x f x ; C − произвольная постоянная; F(x) C − семейство первообразных.

1.dF x F x C;

2.d f x dx f x dx;

3.kf x dx k f x dx;

4.f x g x dx f x dx g x dx;

5.Инвариантность формулы интегрирования: f (u)du F(u) C,

где u (x) − произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таблица простейших интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0dx C

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx cosx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx x C

 

 

 

 

 

 

 

 

cosxdx sin x C

 

 

xndx

 

 

xn 1

C,

n 1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

t g x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

ctg x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

axdx

 

ax

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

exdx ex C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

x

 

 

C, a 0

 

 

dx

 

 

 

1

arctg

x

C, a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

2

 

 

 

 

 

 

x

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

 

x

2

a

C

 

 

 

 

 

ln

 

C

 

 

x2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x

 

C

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

Методы интегрирования

 

 

 

 

Метод интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1. Непосредственное интегрирование

 

 

2x

2

4dx 2xdx 4

1 dx

– интегрирование с использованием

 

 

 

x

свойств неопределенного интеграла и

 

x2

 

 

 

 

 

 

x

 

4ln x C

 

 

 

тождественных преобразований над

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Замена переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x t

2 (t 1)dt

1 случай

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

x

 

 

x (t 1)2

 

Замена

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx 2(t 1)dt

t

f (x)dx

 

 

f (t) (t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (t)

 

 

 

 

2 dt 2 dt 2t 2lnt C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

2

случай

 

(подведение

под

знак

2(1

x) 2ln(1

x) C

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциала)

Замена

f t dt

 

 

 

x

 

dx

ln x ln x dx ln xd(ln x)

f ( (x)) (x)dx t (x)

 

 

ln x t

tdt t2

ln2 x C

Формулы для наиболее часто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

встречающихся дифференциалов

 

 

 

Почти табличные интегралы:

 

 

f (ax b)dx 1

 

 

 

dx 1 d ax b ;

1 dx 2d x ;

 

 

f (ax b)d(ax b)

 

a

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosxdx d sin x; sin xdx d cosx

 

 

F(ax b) C

 

 

 

exdx dex;

xdx 1 dx2 ;

1

dx d 1

;

 

a

 

 

 

 

 

d(3x 1)

 

 

 

dx

 

1

 

1

 

 

 

 

2

x2

 

x

3x 1

 

3

 

 

ln3x 1 C

1 dx d ln x;

1

dx d tgx

 

 

 

 

3x 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

cos2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Интегрирование по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x 5

udv uv vdu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du dx

 

Рекомендации по использованию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)sin 2xdx dv sin 2xdx

 

 

 

метода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 1 cos2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

coskxdx

arccos x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

2

Pn

sinkxdx

arcsin x

Pndx

 

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

 

 

 

(x 5)cos2x

cos2xdx

 

akxdx

loga x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

u

dv

 

1 (x 5)cos2x 1 cos2xd(2x)

 

 

 

u

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (x 5) 1 sin 2x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Интегрирование различных функций

 

 

26

Интегрирование рациональных дробей

Основные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы

 

 

 

 

 

 

 

понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многочлен

 

P (x) a

0

a x a

2

x2

a

n

xn − многочлен степени n,

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

простейшая рациональная функция

 

 

 

 

 

 

 

Рациональная

 

Pn x

 

 

− отношение многочленов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm x

 

 

 

 

 

 

 

 

дробь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виды

 

Pn x

правильная,

если n m и неправильная, если n m

рациональных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm x

дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представление

С помощью деления числителя на знаменатель приводится к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r x

, где M x − многочлен (целая

неправильной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виду:

 

 

 

 

 

M x

 

 

 

 

 

 

 

 

рациональной

Qm x

Qm x

дроби

часть при делении); r x − остаток от деления

 

 

 

 

 

 

 

I.

 

 

 

 

A

 

;

II.

 

 

 

 

 

 

A

 

 

,

 

n 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Типы

 

 

x a

 

x a n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

простейших

III.

 

 

M x N

 

; IV.

 

 

 

 

M x N

 

 

, n 1

 

 

 

 

 

 

рациональных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q − не имеет действительных корней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

dx Aln

 

x a

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

x a n

n 1

 

x a n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При интегрировании дробей III и IV типов пользуются

 

подстановкой x

p

t, приводящей знаменатель

 

 

 

 

Интегрирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

простейших

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

p

 

к

 

виду t

2

k

2

,

где

дробей

 

x

 

 

px q x

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

q

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула приведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2n 3

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 k2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n 1 k2 x2 k2 n

1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило разложения дроби Pn (x) (n<m) на сумму простейших

Qm (x)

 

 

 

дробей. Если Qm (x) (x a) (x b)k

(x2

px q) (x2

gx l)s , то

каждому сомножителю соответствует сумма простейших дробей вида:

 

 

 

A

 

(x a)

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

B2

 

B3

...

Bk

 

 

(x b)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x b)2

(x b)3

(x b)k

 

 

 

 

 

 

 

x b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1x N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ms x Ns

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 gx l)s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 gx l

 

(x2 gx l)s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема вычисления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Pn (x)

dx ,

 

 

 

I

 

 

 

x2 x 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2(x2 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложить

дробь

 

на

 

 

 

x2 x 13

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

 

Cx D

простейшие

 

 

 

 

 

(x 1)2(x2 4)

x 1

(x 1)2

 

 

 

 

x2 4

 

 

Найти

методом

1) x

2

x 13 A(x 1)(x

2

4) B(x

2

4)

неопределенных

 

 

 

 

 

 

 

 

(Cx D)(x 1)2

x3(A C) x2( A B D 2C)

коэффициентов

 

 

коэффициенты

 

 

x(4A C 2D) x

0

( 4A 4B D);

 

 

 

 

 

разложения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

привести

дробь

в

 

 

 

 

A C 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правой части к общему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаменателю;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

; B 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

A B D 2C 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

приравнять

 

 

 

4A C 2D 1,

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициенты

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

; D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

одинаковых степенях х

 

4A 4B D 13

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

(

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3/5х 7 /5

)dx

Проинтегрировать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5(x 1)

 

 

(x 1)2

 

х2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

простейшие дроби

 

 

 

3

ln

 

x 1

 

 

 

3

 

 

 

3

 

ln

 

x2 4

 

 

7

 

arctg

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

Интегралы от тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinn xcosm xdx.

Случай

Подстановка

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 xcos2

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n − нечётное

 

 

 

 

 

 

 

 

t cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos2

x sinxcos2 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos2 x cos2

xdcosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos4

x cos2

x dcosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m − нечётное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

5

 

x

 

cos

3

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

1 cos2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n и m − чётные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

xdx

 

 

1 cos2x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

1 cos2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

неотрицательные

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

sin2x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinxcosx

 

 

sin2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n и m − либо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

dx

 

sin2 x

1

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

cos2 x

cos2

 

cos2

 

 

оба чётные, либо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= tg2x1 tg2x d tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оба нечётные,

 

 

t tgx илиt ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причём хотя бы

 

 

 

 

tg2x tg4x d(tgx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

один из них

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg3x

 

 

 

 

tg5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отрицателен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Интегралы

 

вида

 

 

 

R sin x,cos x dx,

 

 

где

 

R

 

 

 

− рациональная

функция.

 

Используется

 

 

универсальная

 

 

 

 

 

подстановка:

 

 

 

 

t tg

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

где sin x

 

,

cos x

, dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 sin x cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(1 t2)(3

 

 

2t

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

d(t

1

)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 t 2

 

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

 

2

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

Источник: https://studfile.net/preview/16408001/

Смотрите также:

ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
.Юридический позитивизм как теория права.